Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan Kurs ishi Mavzu

2.3-teorema. integralning to’plamda tekis yaqinlashuvchi
bo’lishi uchun uning to’plamda fundamental bo’lishi zarur va yetarli.
2.2-§. Parametrga bog’liq xosmas integrallarda integral belgisi ostida limitga o’tish.
1. funksiya to’plamda
berilgan. nuqta to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
2.4-teorema. funksiya
1) o’zgaruvchining dan olingan har bir tayin qiymatida o’zgaruvchining funksiyasi sifatida da uzluksiz,
2) da ixtiyoriy oraliqda limit funksiyaga tekis yaqinlashuvchi bo’lsin.
Agarda

integral to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda da funksiya limitga ega va

bo’ladi.
Isbot. Teoremaning 1) va 2) shartlari hamda quyidagi: Agar funksiya o’zgaruvchining dan olingan har bir tayin qiymatida, o’zgaruvchining funksiyasi sifatida, oraliqda uzluksiz bo’lsa va da funksiya limit funksiyaga da tekis yaqinlashsa, u holda funksiya da uzluksiz bo’ladi; teoremadan limit funksiyaning da uzluksiz bo’lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya har bir chekli oraliqda integrallanuvchi.
ni da integrallanuvchi ekanligini ko’rsataylik.
2.4-teoremaning shartiga ko’ra

integral da tekis yaqinlashuvchi. Unda 2.1.1-teoremaga asosan, olinganda ham, shunday topiladiki, bo’lgan lar va uchun

bo’ladi. Yuqoridagi tengsizlikda da limitga o’tib quyidagini topamiz:
.
Bundan esa ning da integrallanuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
Endi

ayirmani quyidagicha yozib,


tengsizlikning o’ng tomonidagi har bir qo’shiluvchini baholaymiz.
integral da tekis yaqinlashuvchi. Demak, olinganda ham shunday topiladiki, barcha va uchun

bo’ladi.
xosmas integral yaqinlashuvchi. Demak, yuqoridagi
olinganda ham shunday topiladiki, barcha va uchun

bo’ladi.
Agar deb olinsa, barcha uchun tengsizliklar bir yo’la bajariladi. da funksiya limit funksiyaga har bir (jumladan ) da tekis yaqinlashuvchi, tengsizlikni qanoatlantiruvchi va uchun

bo’ladi. Natijada

bo’ladi. Bu esa

bo’lishini bildiradi. 2.4-teorema isbot bo’ldi.
Yuqoridagi limit munosabatni quyidagicha ham yozish mumkin:

Bu esa teoremaning shartlari bajarilganda parametrga bog’liq xosmas integrallarda ham integral belgisi ostida limitga o’tish mumkinligini ko’rsatadi.
2. funksiya to’plamda
berilgan. nuqta to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. Shuningdek, o’zgaruvchining dan olingan har bir tayin qiymatida ni o’zgaruvchining funksiyasi sifatida qaralganda uning uchun nuqta bo’lsin.