Funksional analiz fənni üzrə misallar Məsələ 1

Məsələ isbat olundu.

Məsələ 39. İsbat edin ki, fəzası Evklid fəzası deyil.

İsbatı:

Deməli, fəzası Evklid fəzası deyil.

Məsələ isbat olundu.

Məsələ 40. fəzasında funksiyaları arasındakı bucağı tapın.

İsbatı:

























Məsələ 41. fəzasında elementlərinin normasını tapın.

Həlli:

norması

Sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi düsturundan istifadə edək.

Məsələ 42. fəzasında elementinin normasını tapın.

Həlli:

fəzasında norma aşağıdakı kimi təyin olunur.







Məsələ 43. fəzasında elementinin normasını tapın.

Həlli:

Teylor düsturundan istifadə edək.

Məsələ 44. fəzasında elementinin normasını tapın.

Həlli:

Normanı hesablamaq üçün sonlu cəmə baxaq.

Deməli,

Məsələ 45. fəzasında elementinin normasını tapın.

Həlli:













Məsələ 46. fəzasında elementinin normasını tapın.

Həlli:













Məsələ 47. fəzasında elementinin normasını tapın.

Həlli:











Məsələ 48. fəzasında elementinin normasını tapın.

Həlli:











Məsələ 49. fəzasında funksiyasının normasını tapın.

Həlli:









Məsələ 50. fəzasında funksiyasının normasını tapın.

Həlli:









Məsələ 51. fəzasında və elementləri arasında skalyar hasilini tapın.

Həlli:









Məsələ 52. funksionalının normasını tapın.

Həlli:

Aşağıdakı teoremdən istifadə edək.

Teorem: (Hilbert fəzasında xətti funksiyaların ümumi şəkli haqqında) Tutaq ki, Hilbert fəzasıdır. fəzasında təyin olunmuş hər bir xətti kəsilməz funksionalı üçün elementi var ki,

və tərsinə, bərabərliyi ilə təyin olunmuş funksionalı xətti kəsilməzdir və onun norması

şəklindədir.





Məsələ 53. , funksionalının normasını tapın.

Həlli:

Aşağıdakı teoremdən istifadə edək.

Teorem: (Hilbert fəzasında xətti funksiyaların ümumi şəkli haqqında) Tutaq ki, Hilbert fəzasıdır. fəzasında təyin olunmuş hər bir xətti kəsilməz funksionalı üçün elementi var ki,

və tərsinə, bərabərliyi ilə təyin olunmuş funksionalı xətti kəsilməzdir və onun norması

şəklindədir.







Məsələ 54. , funksionalının normasını tapın.

Həlli:

Aşağıdakı teoremdən istifadə edək.

Teorem: (Hilbert fəzasında xətti funksiyaların ümumi şəkli haqqında) Tutaq ki, Hilbert fəzasıdır. fəzasında təyin olunmuş hər bir xətti kəsilməz funksionalı üçün elementi var ki,

və tərsinə, bərabərliyi ilə təyin olunmuş funksionalı xətti kəsilməzdir və onun norması

şəklindədir.







Məsələ 55. , funksionalının normasını tapın.

Həlli:

Aşağıdakı teoremdən istifadə edək.

Teorem: (Hilbert fəzasında xətti funksiyaların ümumi şəkli haqqında) Tutaq ki, Hilbert fəzasıdır. fəzasında təyin olunmuş hər bir xətti kəsilməz funksionalı üçün elementi var ki,

və tərsinə, bərabərliyi ilə təyin olunmuş funksionalı xətti kəsilməzdir və onun norması

şəklindədir.







Məsələ 56. , funksionalının normasını tapın və məhdudluğunu isbat edin.

Həlli:

Əvvəlcə məhdudluğu göstərək.

Məsələ 57. funksionalının normasını tapın.

Həlli:

















Tutaq ki, ədədi var ki, üçün Onda funksionalına məhdud funksional deyilir.

Tutaq ki, məhdud funksionaldır. şərtini ödəyən ədədlərinin infimumuna norması deyilir və ilə işarə edilir.

xətti məhdud funksionalın norması üçün aşağıdakı düstur doğrudur.



Məsələ 58. funksionalının məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:

norma

Burada,

Məsələ 59. funksionalının məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:

Burada,

Məsələ 60. funksionalının məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:

;

Burada,

Məsələ 61. funksionalının məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:

Burada,

Məsələ 62. ,

operatorunun məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:

Burada,

Burada,

Məsələ 63. , operatorunun məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:

Operatorun normasını tapaq.

Məsələ 64. , operatorunun məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:













Məsələ 65. operatorunun məhdudluğunu isbat edin.

Həlli:

Burada,

Məsələ 66. elementi üçün kimi təyin olunan operatorunun xətti məhdud operator olduğunu isbat edin və onun normasını tapın.

Həlli:

Burada,

Məsələ 67. funksionalının xətti və kəsilməz olub olmadığını göstərin.

Həlli:

Normal fəzada xətti funksionalın kəsilməz olması üçün zəruri və kafi şərt onun məhdud olmasıdır.

,

Deməli, xəttidir.

Deməli, məhduddur.

Məsələ 68. elementi üçün kimi təyin olunan operatorunun xətti məhdud operator olduğunu isbat edin və onun normasını tapın.

Həlli:

Burada,

Məsələ 69. elementi üçün kimi təyin olunan operatorunun xətti məhdud operator olduğunu isbat edin və onun normasını tapın.

Həlli:

kimi təyin olunur.

Burada,

Məsələ 70. operatorunun məhdudluğunu isbat edin.

İsbatı:

kimi təyin olunur.

Deməli, verilmiş operator məhduddur.

Məsələ 71. operatorunun məhdudluğunu isbat edin.

İsbatı:

kimi təyin olunur.

Deməli, verilmiş operator məhduddur.

Məsələ 72. İstənilən elementləri üçün

kimi təyin edilmiş A operatorunun normasını tapın.

Həlli:









Məsələ 73. operatorunun məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:

İndi isə götürək.

Məsələ 74. İsbat edin ki, operatoru xətti operatordur.



İsbatı:

Verilmiş operatorun xətti operator olduğunu göstərək.

Deməli verilmiş operator xətti operatordur.

Indi isə kəsilməzliyi yoxlayaq.

Tutaq ki, ardıcıllığı funksiyasına müntəzəm yığılan ardıcıllıqdır. Müntəzəm yığılan funksiyalar ardıcıllığı üçün inteqral altından limitə keçmə teoreminə əsasən yaza bilərik:

Yəni,

Deməli, kəsilməzdir.

Məsələ 75. İsbat edin ki, hər bir xətti operatorun qiymətlər çoxluğu xətti çoxluqdur.

İsbatı:

Tutaq ki, xətti operator olduğu üçün

Bu onu göstərir ki, elementi elementinin probrazıdır. Yəni,

. Bu xətti çoxobrazlı olması deməkdir. operatorun qiymətlər çoxluğudur. operatorun təyin oblastıdır.

Məsələ 76. İsbat edin ki, , operatoru sıxan operatordur.

İsbatı:

Əvvəlcə qeyd edək ki, bu funksiya parçasını öz daxilinə inikas etdirir.Göstərək ki, bu funksiya sıxan inikasdır.

Tutaq ki, verilmiş parçanın uc nöqtələridir.



olduğundan inikas sıxandır.

Məsələ 77. Göstərin ki, A Hilbert fəzasında təsir edən xətti məhdud operator, olduqda

bərabərliyi doğrudur.

İsbatı:

Tutaq ki, normal fəzalar və xətti kəsilməz operatordur. götürək və elementinə tətbiq edək. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, də təyin olunmuş xətti kəsilməz funksionaldır.

Bu funksionalı ilə işarə edək. Beləliklə, funksionalı qarşı qoyulur. Yəni, inikas etdirən operator aldıq. Bu operator A-nın qoşma operatoru adlanır və kimi işarə olunur.

funksionalının elementindəki qiymətini simvolu ilə işarə edək. Onda alarıq ki,

Bu münasibəti qoşma operatorun tərifi kimi qəbul etmək olar. Qoşma operatorun tərifinə əsasən

üçün





Məsələ isbat olundu.

Məsələ 78. Göstərin ki, Hilbert fəzasında təsir edən xətti məhdud operator olduqda,

bərabərliyi doğrudur.

İsbatı:

Qoşma operatorun tərifinə əsasən alarıq:

Tərif: Evklid fəzasında təsir edən operatoru üçün ödənilərsə, yəni,

olarsa, ona qoşma operator deyilir.

Məsələ isbat olundu.

Məsələ 79. Göstərin ki, Hilbert fəzasında öz-özünə qoşma operatorlar olduqda, isə onda operatoru da Hilbert fəzasında öz-özünə qoşma operatordur.

İsbatı:

Skalyar hasilin xassələrindən və öz-özünə qoşma olmasından istifadə etməklə üçün yaza bilərik:

Buradan, olduğunu alarıq.

Məsələ isbat olundu.

Məsələ 80. Göstərin ki, Hilbert fəzasında təsir edən məhdud operatorlar olduqda,

bərabərliyi doğrudur.

İsbatı:

Qoşma operatorun tərifinə görə üçün

Tərif: Evklid fəzasında təsir edən operatoru üçün ödənilərsə, yəni,

olarsa, ona qoşma operator deyilir.

Məsələ isbat olundu.

Məsələ 81. parçasında verilmiş funksiyası ilə aparılan inikas sıxan inikasdırmı?

Həlli:

Əvvəlcə qeyd edək ki, bu funksiya parçasını öz daxilinə inikas etdirir. Göstərək ki, bu funksiya sıxan inikasdır.

Tutaq ki, verilmiş parçanın istənilən nöqtələridir. Onda,



olduğundan inikas sıxandır.

Məsələ 82. operatorunun məhdudluğunu isbat edin və normasını tapın.

Həlli:

İndi isə götürək. Onda,