I L l bob. Alg ebr a ik sist em a L a r

Simmetrik element.
Ratsional sonlar to ‘plamida quyidagi tengliklar o‘rinli:
a - b = a+(-b)
a : b = a * 7 ; b = £ 0
b
Birinchi tenglikda ayirish amali qo‘shish amali bilan, b soni 
esa, unga qarama-qarshi (-b) soniga, ikkinchi tenglikda boMish
amali ko‘paytirish amali bilan, b soni esa unga teskari boMgan ^
soni bilan almashtiriladi.
Qarama-qarshi, teskari sonlar simmetrik elementning xususiy 
hollaridir.
Aytaylik, A to ‘plam va * algebraik operatsiya berilgan boMsin, 
e element A to4plamining neytral elementi boMsin.
12-ta’rif. Agar V ae A uchun 
a * a = a * a = e
tenglik o‘rinli 
boMsa, 
a
element 
a
element uchun simmetrik element deyiladi.
Teorema. A da berilgan * algebraik operatsiya assotsiativ 
boMsa, * operatsiyasiga nisbatan A ning har bir elementiga faqat 
bitta simmetrik element mos keladi.
100

---

I s b o t Aytaylik, A to'plam da a elementga ikkita 
аг 
va
a2
elementlar simmetrik boclsin.
a * a
1
= a1 *a = e 
U holda ta rifga asosan 
_ 
_ 
=>a* a,
=
a* a7
a * a 2 = a 2 * cl =
e
1 
1
* operatsiyasi assotsiativ boMganidan 
(аг * a) * a 2 = a-L * (a * a2)=> e * a 2 = at * e=> a2 = at .
Bundan ko‘rinadiki, * operatsiyasiga nisbatan A to^lam ning 
har bir elementi faqat bitta simmetrik elementga ega boMadi.
Shunday to4plamlar mavjudki, ulaming har bir elementiga bitta 
ham simmetrik element mos kelmaydi.
Masalan, nomanfiy butun sonlar to‘plamida qo‘shish amaliga 
nisbatan я e Ao ga simmetrik element 
(-a)
mavjud emas, 
Ao.
Ko‘paytirish amaliga nisbatan simmetrik element teskari 
element, qo‘shish amaliga nisbatan esa simmetrik element 
qarama-qarshi element deyiladi.
M a’lumki, ratsional sonlar to‘plamida 
a
ga teskari ^ (a^O); ~ ga
teskari т =
a
; 
a
ga qarama-qarshi (-a); (-tf)ga qarama-qarshi