I L l bob. Alg ebr a ik sist em a L a r

2-misol. Haqiqiy sonlar to'plam i R ko‘paytirish amaliga 
nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi.
Haqiqatan ham, V a,b,ceR uchun
a) (a b) c=a(b c) assotsiativlik xossasi o‘rinli;
b) V aeR uchun OeR mavjudki, a- l=a;
d) V aeR uchun -a e R topiladiki, a - = 1.
Q o‘shish amali haqiqiy sonlar to‘plamida 
kommutativ, 
assotsiativ boMganidan va R da neytral va simmetrik element 
mavjudligidan kommutativ gruppa boMishi kelib 
chiqadi.
Agar «*» algebraik operatsiya sifatida «+» ko‘paytirish amali 
olinib, algebra qo‘shish amaliga nisbatan gruppa boMsa, 
bunday gruppalar additiv gruppalar deyiladi.
Agar «*» algebraik operatsiya sifatida «•» qo‘shish amali 
olinib, algebra ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa boMsa, 
bunday gruppalar multiplikativ gruppalar deyiladi.
Halqa va uning ta’rifi.
B o'sh boMmagan A to;plamda ikkita binar algebraik operatsiya 
berilgan boMsin. Aniqiik uchun binar algebraik operatsiyalar 
uchun «qo'shish» va «ko‘paytirish» amallarini qabul qilaylik.
4 -ta !rif. 
Bo‘sh 
boMmagan 
A 
to ‘plamda 
qokshish 
va 
ko'paytirish binar algebraik operatsiyalari berilgan boMib, ular 
quyidagi xossalarga bo'ysunsalar, A to‘plam va +,- amallari 
bilan berilgan  algebra yarim halqa deyiladi:
a) 
V a,b,ceA lar uchun (a+b)+c=a+(b+c), ya’ni assotsiativlik 
xossasi;
105

---

b) V a,b,ceA uchun a+b=b+a. y a’ni kommutativlik xossasi;
c) V a,b ,ceA uchun ( a b ) c = a ( b c ) ko4paytirish amali 
assotsiativlik xossasiga bo4ysinsa;
d) V a,b ,ceA uchun ( a + b ) c = a c + b c yoki c ( a + b ) = c a + c b
ko4paytirish amali qoshish amaliga 
nisbatan distributivlik 
xossasiga ega bo'Isa.
Agar 
 
yarim 
halqa 
boTib, 
ko‘paytirish 
amali 
kommutativ bo4Isa, bunday yarim halqa yarim kommutativ halqa 
deyiladi.
5-ta’rif. Agar algebra qo4shish amaliga nisbatan Abel 
gruppa, 
ko‘paytirish 
amaliga 
nisbatan 
yarimgruppa 
va 
ko4paytirish amali qo4shish am aliga nisbatan distributivlik 
xossasiga bo‘ysunsa, algebraga halqa deyiladi.
Demak, halqa bo* lishi uchun, A to4plamda * algebraik 
operatsiya assotsiativ va kommutativ bo lishi, * algebraik