I L l bob. Alg ebr a ik sist em a L a r

operatsiyaga nisbatan neytral va simmetrik elementlari mavjud 
bo4 lishi, ° algebraik operatsiya assotsiativ bo4 lishi ham da ° algeb­
raik operatsiya * algebraik operatsiyaga nisbatan distributiv bo4li­
shi kerak.
Agar V aeA uchun a+0=a va 0+a=a munosabat o4rinli bo4lsa, 
O eA element A to'plam ning nol elementi, agar V aeA uchun e e A
mavjud bo4 lib, ae= e-a= a munosabat bajarilsa, e elementga A 
to'plamning birlik elementi deyiladi.
Misol. N = { l,2 ,3 ,...,n ,...} natural sonlar to4plamida qo4shish 
va ko4paytirish amallari vositasida tashkii qilingan algebra 
yarim halqadir. Haqiqatan ham,
1) 4 ,6,7eN 4+(6+7)=(4+6)+7
2) 4+7=7+4
3)5-(6-7)=(5-6)-7
4) 6(7+4)=6-7+6-4
6-7+6-4=42+24=66, 6 (7 + 4 )= 6 -11=66.
Demak, algebra yarim halqadir.
Agar A to'plam da berilgan ko'paytirish amali uchun 
kommutativlik xossasi o4rinli bo4Isa, kommutativ halqa, 
agar ko4paytirish amali uchun assotsiativlik xossasi o4rinli bo4Isa,
106

---

assotsiativ halqa, agar ko‘paytirish amaliga nisbatan 
a e = e a = a shartni bajaruvchi neytral element mavjud bo‘lsa, 
birlik elementli halqa (chunki a -1=1 a=a,e=l) deb 
yuritiladi.
Agar halqani tashkil qilayotgan A to‘plam eiementlari 
sonlardan iborat bo'lsa, halqa sonli halqa deb yuritiladi.
Endi ko‘rib chiqilgan halqa va uning xossalaridan foydalanib 
maydon tushunchasini kiritamiz.
M aydon. Faraz qilaylik, kommutativ va birlik elementli 
assotsiativ halqa berilgan boMsin.
6 -ta’rif. Agar algebra kommutativ, assotsiativ va birlik 
elementli halqa boMib, ae A , a^O uchun a elementga a a '1=e 
shartni qanoatlantiruvchi a"1 teskari element mavjud bo‘lsa, 
algebraga maydon deyiladi.
Maydon ta’rifidan koVmadiki:
a) har qanday maydonda uning nolga teng bo‘lmagan istalgan 
elementiga teskari element mavjud va yagonadir; 
. .
b) V ae A, a^O uchun 
a
• a -1 = a • - = 1:
a
d) har qanday maydonda birlik element mavjud va yagonadir;
e) V a,beA uchun a x=b tenglikni qanoatlantiruvchi x e A
yagonadir, 
bu 
a a _1=e 
shartni 
qanoatlantiruvchi 
a"1 ning 
yagonaligidan kelib chiqadi:
a x
= 
b =$ x - b
■
a~[ b (a b~l) = (b b~l) a = a:
f) maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.
Agar (A ,* /) maydonda A to‘plam eiementlari sonlardan iborat 
boMsa maydon sonli maydon deyiladi.
Ratsional sonlar to'plami Q da qo‘shish va ko‘paytirish amal­
lari vositasida hosil qilingan  algebra maydon tashkil etadi.
Butun sonlar to'plamida qo'shish va ko‘paytirish amallari 
vositasida hosil qilingan algebra maydon hosil qilmaydi.