İki dəyşənli funksiyanın difrensiallanan olması üçün zəruri və kafi şərtlər. Tam difrensial və tam törəmə

Tangens müstəvisi və səthi normal
Səthi nəzərə alın S, tənliyi ilə verilmişdir
z=f(x, y).
Qoy olsun f(x, y) bəzi sahədə qismən törəmələrə malikdir. düşünün M 0 (x 0 , y 0).
- nöqtədəki tangensin mailliyi M0 müstəvi ilə səthin kəsişməsinə y=y0, yəni xəttə z=f(x,y 0). Bu xəttin tangensi:
z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.
Eynilə, bir təyyarə ilə bir bölmə x=x0 tənliyini verir
z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.
Bu xətlərin hər ikisini ehtiva edən müstəvi tənliyə malikdir
z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)
və səthə toxunan müstəvi adlanır S nöqtədə P 0 (x 0, y 0, z 0).
Qeyd edək ki, tangens müstəvi tənliyi kimi yenidən yazıla bilər
z-z 0 =df.
Beləliklə, həndəsi məna tam diferensial: bir nöqtədə diferensial M0 artım üçün (x-x 0, y-y 0) tangens müstəvisinin tətbiq nöqtəsinin səthə artımıdır z=f(x,y) nöqtədə (x0, y0) eyni artımlar üçün.
Tangens müstəvisi nöqtədə normal vektora malikdir (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). Bir nöqtədən keçən xətt P0 və istiqamət vektorunun olması \vec(n), səthin normalı adlanır z=f(x,y) Bu nöqtədə. Onun tənlikləri:

Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması
Diferensiallanan funksiya verilsin z=F(v, w), arqumentləri dəyişənlərin diferensiallana bilən funksiyalarıdır x və y:
v=v(x, y), w=w(x, y).
Əgər eyni zamanda funksiya
z=F(v(x, y), w(x, y))=\Phi(x, y)
məna kəsb edir, onda mürəkkəb funksiya adlanır x və y.
teorem. Qismən törəmələr z′ x, z'y mürəkkəb funksiyalar mövcuddur və düsturlarla ifadə olunur

Əgər a v və w- bir dəyişənin diferensiallanan funksiyaları t, yəni
v=v(t), w=w(t),
və funksiya məna kəsb edir
z=F(v(t), w(t))=f(t),
onda onun törəməsi düsturla ifadə edilir

Bu törəmə ümumi törəmə adlanır.
Əgər diferensiallanan funksiya verilirsə
u=F(ξ, η, ζ),
kimin arqumentləri ξ=ξ(t), η=η(t), ζ=ζ(t)- dəyişənin diferensiallanan funksiyaları t və funksiyası
u=F(ξ(t), η(t), ζ(t))
Hər bir qismən törəmə (üzəri x və tərəfindən y) iki dəyişənli funksiyanın bir dəyişənin funksiyasının digər dəyişənin sabit dəyəri olan adi törəməsidir:
(harada y= const),
(harada x= const).
Buna görə də, qismən törəmələr hesablanır bir dəyişənli funksiyaların törəmələrinin hesablanması düsturları və qaydaları, digər dəyişəni sabit (sabit) hesab edərkən.
Əgər nümunələrin təhlilinə və bunun üçün zəruri olan minimum nəzəriyyəyə ehtiyacınız yoxdursa, ancaq probleminizin həllinə ehtiyacınız varsa, o zaman gedin onlayn qismən törəmə kalkulyatoru .
Funksiyada sabitin harada olduğunu izləməyə diqqət yetirmək çətindirsə, o zaman misalın layihə həllində sabit dəyəri olan dəyişən əvəzinə istənilən ədədi əvəz edə bilərsiniz - onda siz adi hesablama kimi qismən törəməni tez hesablaya bilərsiniz. bir dəyişənin funksiyasının törəməsi. Yalnız bitirərkən sabiti (sabit dəyəri olan dəyişən) yerinə qaytarmağı unutmamaq lazımdır.
Yuxarıda təsvir edilən qismən törəmələrin xassəsi imtahan suallarında tapıla bilən qismən törəmənin tərifindən irəli gəlir. Buna görə də, aşağıdakı təriflə tanış olmaq üçün nəzəri arayışı aça bilərsiniz.
Funksiyanın davamlılığı anlayışı z= f(x, y) nöqtədə bir dəyişənin funksiyası üçün bu anlayışa bənzər şəkildə müəyyən edilir.
Funksiya z = f(x, y) əgər nöqtədə davamlı adlanır
Fərq (2) funksiyanın ümumi artımı adlanır z(hər iki arqumentin artırılması ilə əldə edilir).
Qoy funksiya olsun z= f(x, y) və nöqtə
Funksiya dəyişərsə z arqumentlərdən yalnız biri dəyişdikdə baş verir, məsələn, x, digər arqumentin sabit dəyəri ilə y, sonra funksiya artırılacaq
funksiyanın qismən artımı adlanır f(x, y) açıqdır x.
Funksiya dəyişikliyini nəzərə alaraq z arqumentlərdən yalnız birinin dəyişməsindən asılı olaraq, biz əslində bir dəyişənin funksiyasına keçirik.
Sonlu bir hədd varsa
onda funksiyanın qismən törəməsi adlanır f(x, y) arqumentlə x və simvollardan biri ilə işarələnir

(4)
Qismən artım eyni şəkildə müəyyən edilir z haqqında y:
və qismən törəmə f(x, y) açıqdır y:
(6)
Misal 1
Qərar. "x" dəyişəninə görə qismən törəmə tapırıq:
(y sabit);
"y" dəyişəninə görə qismən törəmə tapırıq:
(x sabit).
Gördüyünüz kimi, dəyişənin nə dərəcədə sabit olmasının əhəmiyyəti yoxdur: bu halda, sadəcə olaraq, qismən tapdığımız dəyişən ilə amil (adi törəmədə olduğu kimi) olan bəzi rəqəmlərdir. törəmə. Sabit dəyişən qismən törəməni tapdığımız dəyişənə vurulmazsa, bu tək sabit, adi törəmədə olduğu kimi, nə dərəcədə olursa olsun, yox olur.
Misal 2 Funksiya verilmişdir
Qismən törəmələri tapın
(x ilə) və (y ilə) və nöqtədə onların dəyərlərini hesablayın AMMA (1; 2).
Qərar. Sabit vəziyyətdə y birinci həddinin törəməsi güc funksiyasının törəməsi kimi tapılır ( bir dəyişənin törəmə funksiyaları cədvəli):
.
Sabit vəziyyətdə x birinci terminin törəməsi eksponensial funksiyanın törəməsi, ikincisi isə sabitin törəməsi kimi tapılır:
İndi nöqtədə bu qismən törəmələrin dəyərlərini hesablayırıq AMMA (1; 2):

Siz qismən törəmələrlə məsələlərin həllini yoxlaya bilərsiniz onlayn qismən törəmə kalkulyatoru .
Misal 3 Funksiyaların qismən törəmələrini tapın
Qərar. Bir addımda tapırıq

(y x, sanki sinusun arqumenti 5-dir x: eyni şəkildə funksiyanın işarəsindən əvvəl 5 görünür);

(x sabitdir və bu halda bir amildir y).
Siz qismən törəmələrlə məsələlərin həllini yoxlaya bilərsiniz onlayn qismən törəmə kalkulyatoru .
Üç və ya daha çox dəyişənin funksiyasının qismən törəmələri oxşar şəkildə müəyyən edilir.
Əgər hər bir dəyər dəsti ( x; y; ...; t) çoxluqdan müstəqil dəyişənlər D müəyyən bir dəyərə uyğundur uçoxlarından E, sonra u dəyişənlərin funksiyası adlanır x, y, ..., t və işarə edir u= f(x, y, ..., t).
Üç və ya daha çox dəyişənli funksiyalar üçün həndəsi şərh yoxdur.
Bir neçə dəyişənli funksiyanın qismən törəmələri də müstəqil dəyişənlərdən yalnız birinin dəyişdiyi, digərlərinin isə sabit olduğu fərziyyəsi ilə müəyyən edilir və hesablanır.
Misal 4 Funksiyaların qismən törəmələrini tapın
.
Qərar. y və z sabit:
x və z sabit:
x və y sabit: