İki dəyşənli funksiyanın difrensiallanan olması üçün zəruri və kafi şərtlər. Tam difrensial və tam törəmə

Elementar tətbiq olunan qaydaları sistemləşdiririk:
1) ilə fərqləndirdiyimiz zaman dəyişən sabit hesab olunur.
2) diferensiallaşdırma uyğun olaraq aparıldıqda, onda sabit hesab olunur.
3) Qaydalar və elementar funksiyaların törəmələri cədvəli etibarlıdır və differensasiyanın aparıldığı hər hansı dəyişən (və ya hər hansı digər) üçün tətbiq edilir.
İkinci addım. İkinci dərəcəli qismən törəmələri tapırıq. Onlardan dördü var.
Qeyd:
və ya - "x"-ə münasibətdə ikinci törəmə
və ya - "y" ilə bağlı ikinci törəmə
və ya - qarışıq törəmə "x by y"
və ya - qarışıq törəmə "Y ilə X"
İkinci törəmə ilə bağlı heç bir problem yoxdur. Sadə dillə desək, ikinci törəmə birinci törəmənin törəməsidir.
Rahatlıq üçün, artıq tapılmış birinci dərəcəli qismən törəmələri yenidən yazacağam:

Əvvəlcə qarışıq törəmələri tapırıq:
Gördüyünüz kimi, hər şey sadədir: biz qismən törəmə götürürük və onu yenidən fərqləndiririk, lakin bu vəziyyətdə artıq "y" ilə.
Oxşar:
Praktik nümunələrdə aşağıdakı bərabərliyə diqqət yetirə bilərsiniz:
Beləliklə, ikinci dərəcəli qarışıq törəmələr vasitəsilə birinci dərəcəli qismən törəmələri düzgün tapıb tapmadığımızı yoxlamaq çox rahatdır.
"x"-ə münasibətdə ikinci törəməni tapırıq.
İxtira yoxdur, alırıq və yenidən "X" ilə fərqləndirin:
Oxşar:
Qeyd etmək lazımdır ki, taparkən , göstərmək lazımdır diqqəti artırdı, çünki onları sınamaq üçün möcüzəvi bərabərliklər yoxdur.
İkinci törəmələr də geniş praktik tətbiq tapır, xüsusən də tapma problemində istifadə olunur iki dəyişənli funksiyanın ekstremumları. Ancaq hər şeyin öz vaxtı var:
Misal 2
Nöqtədə funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini hesablayın. İkinci dərəcəli törəmələri tapın.
Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (dərsin sonunda cavablar). Kökləri fərqləndirməkdə çətinlik çəkirsinizsə, dərsə qayıdın Törəməni necə tapmaq olar?Ümumiyyətlə, tezliklə oxşar törəmələri tez tapmağı öyrənəcəksiniz.
Əlimizi daha mürəkkəb nümunələrlə doldururuq:
Misal 3
Bunu yoxlayın. Birinci sıranın tam diferensialını yazın.
Həlli: Birinci dərəcəli qismən törəmələri tapırıq:


Alt işarəyə diqqət yetirin: “x”in yanında onun sabit olduğunu mötərizədə yazmaq qadağan deyil. Bu işarə yeni başlayanlar üçün həll yolu ilə getməyi asanlaşdırmaq üçün çox faydalı ola bilər.
Əlavə şərhlər:
(1) Törəmə işarəsindən kənar bütün sabitləri çıxarırıq. Bu halda, və, və, deməli, onların hasilatı sabit ədəd hesab olunur.
(2) Kökləri necə düzgün ayırd etməyi unutmayın.

(1) Törəmə işarəsindən bütün sabitləri çıxarırıq, bu halda sabit .
(2) Başlıq altında iki funksiyanın məhsulu var, buna görə də məhsulun fərqləndirmə qaydasından istifadə etməliyik .
(3) Unutmayın ki, bu, mürəkkəb bir funksiyadır (mürəkkəb funksiyalardan ən sadəsi olsa da). Müvafiq qaydadan istifadə edirik: .
İndi ikinci dərəcəli qarışıq törəmələri tapırıq:


Bu o deməkdir ki, bütün hesablamalar düzgündür.
Ümumi diferensialı yazaq. Baxılan tapşırığın kontekstində iki dəyişənin funksiyasının tam diferensialının nə olduğunu söyləməyin mənası yoxdur. Bu diferensialın çox vaxt praktiki problemlərə yazılması vacibdir.