İki dəyşənli funksiyanın difrensiallanan olması üçün zəruri və kafi şərtlər. Tam difrensial və tam törəmə

Daha yüksək sifarişlərin qismən törəmələri
Qismən törəmələr və funksiyalar f(x, y) özləri eyni dəyişənlərin bəzi funksiyalarıdır və öz növbəsində müxtəlif dəyişənlərə münasibətdə törəmələri ola bilər ki, bunlar daha yüksək dərəcəli qismən törəmələr adlanır.
Tərif: Funksiyanın tam diferensialı bir neçə dəyişən onun bütün qismən diferensiallarının cəmi adlanır:
Misal 1: .
Qərar:
Bu funksiyanın qismən törəmələri bərabər olduğundan:


Onda dərhal bu funksiyaların qismən diferensiallarını yaza bilərik:
, ,
Onda funksiyanın tam diferensialı belə görünəcək:
.
Misal 2 Funksiyanın tam diferensialını tapın
Qərar:
Bu funksiya mürəkkəbdir, yəni. kimi təsəvvür etmək olar
Biz qismən törəmələri tapırıq:
Tam diferensial:
Ümumi diferensialın analitik mənası ondan ibarətdir ki, bir neçə dəyişənli funksiyanın ümumi diferensialı bu funksiyanın ümumi artımının əsas hissəsidir, yəni təqribi bərabərlik var: ∆z≈dz.
Lakin yadda saxlamaq lazımdır ki, bu təxmini bərabərliklər yalnız z=f(x,y) funksiyasının arqumentlərinin dx və dy kiçik diferensialları üçün etibarlıdır.
Ümumi diferensialın təxmini hesablamalarda istifadəsi ∆z≈dz düsturunun istifadəsinə əsaslanır.
Həqiqətən də, əgər bu düsturda funksiyanın artımı ∆z kimi, tam diferensial isə aşağıdakı kimi göstərilmişdirsə. , onda alırıq:
≈ ,
Nəticə düsturdan hər iki arqumentin kifayət qədər kiçik artımları ilə qəbul etdiyi iki dəyişənli funksiyanın "yeni" dəyərini təxminən tapmaq üçün istifadə edilə bilər.
Misal. Funksiyanın təxmini qiymətini tapın , arqumentlərinin aşağıdakı dəyərləri ilə: 1.01, .
Qərar.
Əvvəlki düsturda tapılmış funksiyaların qismən törəmələrini əvəz edərək, əldə edirik:
x=1, ∆x=0,01, y=2, ∆y=0,02 qiymətlərini əvəz etdikdə alırıq:
skalyar sahə.
Əgər D fəzasının hansısa regionunun hər bir nöqtəsində U(p)=U(x,y,z) funksiyası verilirsə, o zaman D bölgəsində skalyar sahənin verildiyi deyilir.
Əgər, məsələn, U(x, y, z) M(x, y, z) nöqtəsindəki temperaturu bildirirsə, onda skalyar temperatur sahəsinin verildiyini söyləyirik. Əgər D bölgəsi maye və ya qazla doludursa və U(x,y,z) təzyiqi bildirirsə, onda skalyar təzyiq sahəsi var. Kosmosda yüklərin və ya kütləvi cisimlərin düzülüşü verilirsə, potensial sahədən danışılır.
Skalar sahə adlanır stasionar, U(x,y,z) funksiyası zamanla dəyişməzsə: U(x,y,z) ≠ f(t).
İstənilən stasionar sahə aşağıdakılarla xarakterizə olunur:
1) skalyar sahənin səviyyəli səthi
2) verilmiş istiqamətdə sahənin dəyişmə sürəti.
Səviyyə səthi skalyar sahə U(x,y,z) funksiyasının sabit qiymət aldığı nöqtələrin yeridir, yəni U(x,y,z) = const. Bu nöqtələrin toplanması müəyyən bir səth təşkil edir. Başqa bir sabiti götürsək, başqa bir səth əldə edirik.
Misal: Skayar sahə verilsin. Belə sahəyə misal olaraq nöqtə elektrik yükünün (+q) elektrik potensial sahəsini göstərmək olar. Burada səviyyəli səthlər ekvipotensial səthlərdir , yəni mərkəzində sahə yaradan yük olan kürələr.
Skayar funksiyanın ən böyük artım istiqaməti adlı vektor verilir gradient və simvolu (və ya ) ilə işarələnir.
Funksiyanın qradiyenti bu funksiyanın qismən törəmələri baxımından tapılır və həmişə verilmiş nöqtədə skalyar sahənin səviyyəli səthinə perpendikulyardır:
, harada
OX, OY, OZ oxları boyunca müvafiq olaraq vahid vektorları
U(x,y,z) funksiyasının hər hansı digər istiqamətdə (λ) törəməsi düsturla müəyyən edilir:
, harada
α, β, γ müvafiq olaraq OX, OY, OZ koordinat oxları və istiqamət arasındakı bucaqlardır.