İki dəyşənli funksiyanın difrensiallanan olması üçün zəruri və kafi şərtlər. Tam difrensial və tam törəmə

Diqqət vacibdir! Alt yazılar həll prosesində İTİRMİR. Bu vəziyyətdə, hardasa "vuruş" çəksəniz, müəllim, heç olmasa, tapşırığın yanına qoya bilər (diqqətsizlik üçün xalın bir hissəsini dərhal dişləyin).
(2) Fərqləndirmə qaydalarından istifadə edin , . üçün sadə bir misal bu kimi, hər iki qayda bir addımda tətbiq oluna bilər. Birinci terminə diqqət yetirin: o vaxtdan bəri sabit hesab olunur və törəmənin işarəsindən istənilən sabiti çıxarmaq olar, sonra onu mötərizələrdən çıxarırıq. Yəni, bu vəziyyətdə, adi bir nömrədən yaxşı deyil. İndi üçüncü terminə baxaq: burada, əksinə, çıxaracaq bir şey yoxdur. Sabit olduğundan, həm də sabitdir və bu mənada sonuncu termindən - “yeddi”dən yaxşı deyil.
(3) Cədvəl törəmələrindən və istifadə edirik.
(4) Cavabı sadələşdiririk və ya demək istədiyim kimi, “birləşdiririk”.
İndi . "y"-ə münasibətdə qismən törəməni tapdıqda, dəyişənsabit hesab olunur (sabit ədəd).
(1) Eyni fərqləndirmə qaydalarından istifadə edirik , . Birinci hədddə törəmənin işarəsindən kənarda olan sabiti çıxarırıq, ikinci hədddə isə heç nə çıxarıla bilməz, çünki o, artıq sabitdir.
(2) Elementar funksiyaların törəmələri cədvəlindən istifadə edirik. Cədvəldə zehni olaraq bütün "X"ləri "Y"-yə dəyişdirin. Yəni, bu cədvəl eyni dərəcədə etibarlıdır (və əslində demək olar ki, hər hansı bir məktub üçün). Xüsusilə istifadə etdiyimiz düsturlar belə görünür: və .
Qismən törəmələrin mənası nədir?
Əsas etibarilə 1-ci dərəcəli qismən törəmələrə bənzəyir "adi" törəmə:
- Bu funksiyaları, xarakterizə edən dəyişmə dərəcəsi oxlar istiqamətində və müvafiq olaraq funksiyaları yerinə yetirir. Beləliklə, məsələn, funksiya "dırmaşmaların" və "yamacların" dikliyini xarakterizə edir səthlər absis oxu istiqamətində, funksiya isə ordinat oxu istiqamətində eyni səthin “relyefindən” xəbər verir.
! Qeyd : burada olan istiqamətlərə aiddir paraleldirlər koordinat oxları.
Daha yaxşı başa düşmək üçün təyyarənin müəyyən bir nöqtəsini nəzərdən keçirək və içindəki funksiyanın (“hündürlük”) dəyərini hesablayaq:
- və indi burada olduğunuzu təsəvvür edin (ÇOX səthdə).
Verilmiş nöqtədə "x"-ə görə qismən törəmə hesablayırıq:

"X" törəməsinin mənfi işarəsi bizə məlumat verir enən x oxu istiqamətində bir nöqtədə fəaliyyət göstərir. Yəni kiçik-kiçik etsək (sonsuz kiçik) oxun ucuna doğru addımlayın (bu oxa paralel), sonra səthin yamacından aşağı enin.

İndi y oxu istiqamətində "relyef"in təbiətini öyrənirik:

"y" ilə bağlı törəmə müsbətdir, buna görə də ox boyunca bir nöqtədə funksiya artır. Əgər bu olduqca sadədirsə, deməli burada biz yoxuşa dırmaşmağı gözləyirik.

Bundan əlavə, bir nöqtədə qismən törəməni xarakterizə edir dəyişmə dərəcəsi müvafiq istiqamətdə fəaliyyət göstərir. Nəticə dəyər nə qədər böyük olar modulu- səth nə qədər dikdirsə və əksinə, sıfıra nə qədər yaxındırsa, səth daha düzdür. Deməli, bizim nümunəmizdə absis oxu istiqamətindəki “maililik” ordinat oxu istiqamətində “dağ”dan daha sıldırımdır.
Ancaq bunlar iki şəxsi yol idi. Tamamilə aydındır ki, olduğumuz nöqtədən (və ümumiyyətlə verilmiş səthin istənilən nöqtəsindən) başqa istiqamətdə hərəkət edə bilərik. Beləliklə, səthin "landşaftı" haqqında bizə məlumat verəcək ümumi "naviqasiya cədvəli" tərtib etməyə maraq var. Əgər mümkünsə hər nöqtədə bu funksiyanın əhatə dairəsi bütün mövcud yollarla. Bu və digər maraqlı şeylər haqqında növbəti dərslərin birində danışacağam, amma hələlik məsələnin texniki tərəfinə qayıdaq.