İki dəyşənli funksiyanın difrensiallanan olması üçün zəruri və kafi şərtlər. Tam difrensial və tam törəmə

Ümumi birinci dərəcəli diferensial iki dəyişənin funksiyaları formaya malikdir:

Bu halda:
Yəni, düsturda sadəcə axmaqcasına birinci dərəcəli artıq tapılmış qismən törəmələri əvəz etməlisiniz. Mümkünsə, bu və buna bənzər hallarda diferensial nişanlar ən yaxşı hesablamalarda yazılır:
Və oxucuların təkrar xahişi ilə ikinci dərəcəli tam diferensial.
Bu belə görünür:
2-ci sıranın "tək hərfli" törəmələrini DİQQƏTLƏ tapın:



və "canavarı" yazın, kvadratları, məhsulu diqqətlə "bağlayın" və qarışıq törəməni ikiqat etməyi unutmadan:


Bir şey çətin görünürdüsə, fərqləndirmə texnikasını seçdikdən sonra həmişə törəmələrə qayıda bilərsiniz:
Misal 4
Funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın . Bunu yoxlayın. Birinci sıranın tam diferensialını yazın.
Mürəkkəb funksiyaları olan bir sıra nümunələri nəzərdən keçirin:
Misal 5
Funksiyanın birinci dərəcəli törəmələrini tapın.
Qərar:


Misal 6
Funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın .
Ümumi diferensialı yazın.
Bu, özünü həll etmək üçün bir nümunədir (cavab dərsin sonunda). Tam həllini dərc etməyəcəyəm, çünki bu, olduqca sadədir.
Çox vaxt yuxarıda göstərilən qaydaların hamısı birlikdə tətbiq olunur.
Misal 7
Funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın .

(1) Biz cəminin fərqləndirmə qaydasından istifadə edirik
(2) Bu halda birinci termin sabit hesab olunur, çünki ifadədə "x" -dən asılı olan heç bir şey yoxdur - yalnız "y". Bilirsiniz, bir kəsri sıfıra çevirmək həmişə xoşdur). İkinci müddət üçün məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik. Yeri gəlmişkən, bu mənada yerinə funksiya verilsəydi, heç nə dəyişməzdi - burada olması vacibdir iki funksiyanın məhsulu, HƏR BİRİNDƏN asılıdır "X", və buna görə də, məhsulun fərqləndirmə qaydasından istifadə etməlisiniz. Üçüncü müddət üçün mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik.

(1) Birinci bənddə həm pay, həm də məxrəcdə “y” var, buna görə də bölməni fərqləndirmək üçün qaydadan istifadə etməlisiniz: . İkinci termin YALNIZ "x"-dən asılıdır, yəni o, sabit hesab olunur və sıfıra çevrilir. Üçüncü termin üçün mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasından istifadə edirik.
Dərsin demək olar ki, sonuna cəsarətlə çatan oxucular üçün sizə köhnə Mehmatov lətifəsini danışacağam:
Bir dəfə funksiyalar məkanında pis bir törəmə meydana çıxdı və hər kəsi necə fərqləndirdi. Bütün funksiyalar hər tərəfə səpələnir, heç kim dönmək istəmir! Və yalnız bir funksiya heç bir yerə qaçmır. Törəmə ona yaxınlaşır və soruşur:
– Niyə məndən qaçmırsan?
- Ha. Amma vecimə deyil, çünki mən "x-in gücünə e"yəm və sən mənə heç nə edə bilməzsən!
Buna məkrli təbəssümlə pis törəmə cavab verir:
- Səhv etdiyiniz yer budur, sizi “y” ilə fərqləndirəcəyəm, sizin üçün sıfır olun.
Zarafatı kim başa düşdü, törəmələri mənimsədi, heç olmasa "troyka" üçün).
Misal 8
Funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın .
Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Problemin tam həlli və nümunə dizaynı dərsin sonundadır.
Demək olar ki, hamısı budur. Nəhayət, daha bir misalla riyaziyyatçıları sevindirməyə kömək edə bilmirəm. Söhbət hətta həvəskarlardan getmir, hər kəsin fərqli riyazi hazırlığı var - daha çətin tapşırıqlarla yarışmağı xoşlayan insanlar (və o qədər də nadir deyil) var. Baxmayaraq ki, bu dərsdəki son nümunə hesablamalar baxımından o qədər də mürəkkəb deyil.