Kurs: 2 Qrup: 722a Tələbə

6. Hadisələr cəminin ehtimalı
Tutaq ki, Ω={ω} ilə hər hansı S sınağının elementar hadisələr fəzası və A, B, C, ... (indeksli və ya indekssiz) ilə onun altçoxluqları olan hadisələr işarə edilmişdir.
Yuxarıda göstərdik ki, ehtimal nəzəriyyəsində ehtimala hadisələrin funksiyası kimi baxılır. Lakin Ω fəzasının istənilən altçoxluğu üçün ehtimalı təyin etmək mümkündeyildir. Ehtimal anlayışı fəzanın müəyyən hadisələri (altçoxluqları) sisteminə daxil olan hadisələr (çoxluqlar) üçün təyin edilir. Buna görə də hadisələrin ehtimalını riyazi olaraq təyin etmək üçün belə hadisələr sistemi əvvəldən müəyyən edilməlidir.
Tutaq ki, Ω fəzasının hər hansı hadisələri (altçoxluqları) sistemi F ilə işarə edilmişdir və bu sistem üçün aşağıdakı şərtlər ödənilir:
1) Ω ∈F,
2) A∈F və B∈F olduqda AB∈F, A+B∈F, A−B∈F olur
Onda F sisteminə hadisələr cəbri deyilir. Hadisələr cəbrinin bir sıra xassələri vardır.
Ω fəzası F sisteminə daxil olduğundan 2) şərtinə görə ∅=Ω−Ω boş çoxluğu dada F sisteminə daxildir: ∅∈F.
Hadisələrin cəmi və hasili üçün qruplaşdırma xassəsi doğru olduğundan F sisteminə daxil olan sonlu sayda A₁,A₂…,A_n hadisələrinin cəmi və hasili də həmin sistemə daxildir. Yəni A_k∈F (k=1,2,…,n) olduqda
⋃𝐀_k∈𝐅 𝐯ə ⋂𝐀_k∈𝐅 𝐧𝐤=𝟏𝐧𝐤=1
Bir çox məsələləri həll etmək üçün ehtimal nəzəriyyəsində hadisələr cəbri anlayışı ilə kifayətlənmək olar. Lakin bir sıra mürəkkəb məsələləri, xüsusilə həndəsi xarakterli məsələləri həll etmək üçün hadisələr cəbrinin əlavə bir xassəni də ödəməsi tələb olunur. Bu xassə, sistemin hesabi sayda hadisələrinin cəmi və hasilinin yenə də həmin sistemə daxil olmasından ibarətdir:
3) Ak∈F (k=1,2,…) olduqda
⋃𝐀k∈𝐅 𝐯ə ⋂𝐀k∈𝐅 ∞𝐤=𝟏∞𝐤=1
Bu halda, yəni F hadisələr cəbri 3) şərtini ödədikdə, ona 𝛔− cəbr və ya Borel cəbri deyilir
Misal 1. Ω fəzası və boş çoxluqdan ibarət olan F={Ω,∅} sistemi hadisələr cəbridir. Bu, “ən kiçik” alt çoxluqlar sistemi cəbrdir.
Misal 2. Ω fəzasının bütün altçoxluqlarından ibarət olan F hadisələr sistemi σ− cəbrdir. Bu, Ω fəzasında, “ən geniş" σ− cəbrdir. Xüsusi halda, Ω fəzası sonlu elementli çoxluq olduqda F sistemi eyni zamanda cəbr olar. 3-cü misalda göstərildiyi kimi n elementli Ω fəzası üçün F sistemi 2ⁿ sayda hadisədən ibarət olur.