Logarifmik funksiyalar, tenglamalar va tengsizliklar Reja

12.4. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni
yechish usullari


12.4.1. Logarifmik tenglamalar

Logarifmik tenglama ma`lum almashtirishlardan keyin

(1)

yoki (2)

ko`rinishga keltiriladi. (1) dan x=b va (2) dan x=a^b yechimni topamiz.

1-misol. tenglamani yeching.


Yechish: Berilgan tenglama x ning x²+5x+2=2³ tenglik bajarila-digan qiymatlardagina qanoatlantiradi. Bundan x²+5x-6=0 kvadrat teng-lamaga ega bo`lib, x₁=1, x₂=-6 yechimni topamiz.


2-misol. tenglamani yeching.


Yechish: Bu tenglama x ning 2x+3>0 va x+1>0 shartlarni qanoat-lantiruvchi qiymatlari uchun aniqlangan. Bu tengsizliklarni yechib teng-lamaning mavjudlik sohasi ni aniqlaymiz. Berilgan tenglama 2x+3=x+1 tenglamaga teng kuchlidir. Bundan x=-2 ni topamiz. Ammo bu ildiz tenglamaning mavjudlik sohasiga kirmaydi. Binobarin, berilgan tenglamaning ildizlari mavjud emas.


3-misol. tenglamani yeching.


Yechish: bu tenglama x ning x>0, x≠1( x- logarifmning asosi bo`l-gani uchun) shartlar va x<sup>2</sup>-3x+3=x yoki x<sup>2</sup>-4x+3=0 tenglik bajariladigan qiymatlardagina qanoatlantiriladi. Hosil bo`lgan kvadrat tenglamaning ildizlari 1 va 3 bo`lib, x=1 berilgan tenglamaning yechimi bo`la olmaydi. Demak, berilgan tenglamaning ildizi faqat x=3.


4-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Bu tenglamaning mavjudlik sohasi bo`ladi. x asosli logarifmdan 5 asosli logarifmga o`tib, ni, bun-dan ni hosil qilamiz. Bu kvadrat tenglamani noma`lum ga nisbatan yechib, va ni topamiz. Bu tengla-malardan x₁=5³=125 va =5^-2= larni topamiz. Bu ildizlarning ikka-lasi ham tenglamani qanoatlantiradi.