Ma’ruza №8 Mavzu

F_k = -r = -r , (8.12)
r – qarshilik koeffitsenti.
So’nuvchi tebranishlarning differensial tenglamasi ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(8.13)
Bunda, _o - muhitning qarshiligi bo’lmagan holdagi tebranuvchi sistemaning xususiy tebranish chastotasi;  - so’nish koeffitsenti;
, (8.14) tenglamaning echimi   ₀ bo’lgan hollarda
x=A_oe^-tcos(_st+_o), yoki x=A_oe^-tsin(_s t+_o) ko’rinishda bo’ladi.
Bu yerda _s - so’nuvchi tebranishlar chastotasi bo’lib, uning qiymati
(8.15)
munosabatdan aniqlanadi. (8.15) ga binoan so’nuvchan tebranishning davri:
. (8.16)
 - ni ortishi bilan T_s - ortadi (chastota kamayadi).
Agar 0 bo’lsa, . (8.17)
(8.17) ifodadan so’nuvchi tebranishlarning amplitudasini quyidagiga teng ekanligi ko’rinib turibdi:
A = A_oe^-t . (8.20)

Demak, vaqt o’tishi bilan siljish (8.19) formula asosida va amplituda (8.50) ifoda asosida eksponensial kamayishi ko’rinib turibdi. Bu bog’lanishning grafigi 8.1-rasmda keltirilgan.
So’nuvchi tebranish qilayotgan moddiy nuqtaning ketma-ket amplitudalarining qiymatlari
A_o; A₁=A_oe^-Ts; A₂=A_oe^-Ts . . . . A_n=A_oe^-Ts qatorni tashkil qiladi. Umuman, so’nuvchi tebranishda bir-biridan tebranish davri T ga farq qiluvchi ikkita ketma-ket amplitudalar nisbati:
. (8.21)
Ikki ketma-ket amplitudalar nisbati natural logarifmining moduliga so’nishning logarifmik koeffisenti deb ataladi:
. (8.22)
 - kattalik odatda tebranishlarning so’nishini xarakterlash uchun ishlatiladi.
ifoda (8.23)
Majburiy tebranishlar (so’ngmas) katta amaliy ahamiyatga egadir. Tashqi davriy ravishda o’zgarib turadigan kuchlar ta’sirida vujudga keladigan tebranishlarga majburiy tebranishlar deyiladi. Ichki yonuv dvigateli porshenlarining harakati, tikuv mashinasi ignasining harakati va shunga o’xshash tebranishlar majburiy tebranishlarga misol bo’ladi. Tashqi davriy ravishda o’zgaruvchi kuchga, majbur etuvchi kuch deyiladi. Bu kuchning bajargan ishi, tebranuvchi sistemaning, muhit qarshiligini yengishga sarflagan energiya kamayuvini to’ldirishga sarflanadi.
Tebranayotgan jismga qo’yilgan bo’lib, doimo muvozanat vaziyati tomon yo’nalgan, muvozanat vaziyatda nolga teng bo’lgan va muvozanat vaziyatdan boshlab siljishiga mutanosib oshadigan kuchga qaytaruvchi kuch deyiladi. Jism muvozanat vaziyatdan o’tgan vaqtda qaytaruvchi kuch rolini, mexanik tebranishlarda, ko’pincha, elastiklik kuchi bajaradi. Faraz qilaylik m - massali moddiy nuqtaga garmonik qonun bo’yicha o’zgaruvchi F_m  F_ocos_mt majbur etuvchi kuch ta’sir etsin. U holda dinamikaning II qonuniga asosan, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi , yoki .
ko’rinishida bo’ladi. Bu tenglamani va lardan foydalanib quyidagicha yozish ham mumkin:
. (8.24)
(8.24) lar majburiy tebranishlarning deferensial tenglamalaridir. Differensial tenglamalar nazariyasidan ma’lumki, bunday tenglamani umumiy echimi (x), uning o’ng tomoni nolga teng bo’lgandagi, ya’ni
(8.25)
ning umumiy echimi (x₁) bilan (8.60) tenglamaning xususiy yechimi (x₂) ning yig’indisi tarzida bo’ladi:
x(t)  x₁(t) + x₂(t). (8.26)
Bundagi x₁(t)  A_oe^-tcos(_ct_o) bo’lib, sistemani xususiy tebranishlarini ifodalaydi va yetarlicha katta vaqt oralig’ida xususiy tebranishlar amalda butunlay so’nib bo’ladi, shuning uchun x₁(t)0 bo’ladi. x₂(t) sistemani majburiy tebranishlarini ifodalaydi. F_m ta’sir eta boshlagan dastlabki paytda xususiy (so’nuvchi) tebranishlar vujudga kelib, majburiy tebranishlarning barqarorlanish vaqti davomida eksponensial qonun bo’yicha tezgina so’nib bo’ladi (8.2-rasm).
Bir qator matematik amallar bajarib (8.60) tenglamani izlanayotgan xususiy yechimi
x₂(t)  x  A_mcos(_mt+) (8.27)
ekanligini topamiz. A_m-majburiy tebranishlarning amplitudasi, uning qiymati
(8.28)
formula bilan hisoblanadi.
(8.29)
bo’lganligidan . (8.30)
 - majburiy tebranishlarning boshlang’ich fazasi. (8.63) ga A_m va  ni qiymatlarini qo’ysak, bir jinsli bo’lmagan (8.60) tenglamaning xususiy yechimini topamiz:
. (8.31)
(8.31) ifoda, barqaror majburiy tebranishlarni ifodalaydi.
A_m ni _m ga bog’liqligi shunga olib keladiki, berilgan sistema uchun aniq biror chastotada A_m  A_max ga teng bo’ladi. Tebranuvchi sistemalar ayniqsa shunday chastotali majbur etuvchi kuchning ta’siriga beriluvchan bo’lar ekan.
Tashqi kuchning o’zgarish chastotasi sistemaning xususiy tebranish chastotasiga, yaqinlashganda majburiy tebranishlar amplitudasining keskin ortib ketish hodisasiga r e z o n a n s deb ataladi. Bu paytdagi chastotaga rezonans chastotasi deyiladi. Rezonans chastotasini aniqlash uchun (8.63) ifodani maxraji eng kichik qiymatga erishishi lozim. Buning uchun ildiz ostidagi ifodani hosilasi nolga teng bo’lishi kerak
.
Bundan:
. (8.32)
(8.32) dan bo’lganda bo’lib, ya’ni rezonans hodisasi ro’y berishligi kelib chiqadi. Bu paytdagi amplitudani rezonans A_rez amplitudasi deyiladi va natijaviy amplitude quyidagiga teng bo’ladi:
. (8.33)
ning noldan farqli qiymatlarida amplituda hech qachon cheksiz katta bo’la olmaydi va dan kichik bo’lgan larda maksimumga erishadi.