Matematik model spikolar elastik janlar in trikotaj siqmas suyuqliklar

v _S ( ph ( p , t ) , t ) = ∂ _t ph ( p , t ) da p ∈ D _∗ , t ≥ t ₀ .
Tenglik stress yoqilgan D beriladi xuddi shunday. belgilaylik orqali T tensor Kuchlanishi kuyovlar Koshi V qiyin tanasi Keyin V Eyler tavsifi
P ( x , t ) n ( x , t ) = T ( x , t ) n ( x , t ) x da ∈ D( t ) , (9)
Qayerda n ( x , t ) — vektor x nuqtada D( t ) ga normal . Aniqlik uchun biz taxmin qilamiz bu vektor suyuqlik tomon yo'naltirilganligi. Tezlikda bo'lgani kabi, bu ham kerak kuchlanish vektori T n va birinchi (yoki ikkinchi) stress tensori o'rtasidagi munosabatni yozing Piola - Kirchhoff:
T ^{(1 )} ( p , t ) n I ( l ) = det ∇l _{_} ph ( p , t ) ^. ∇l _{_} ph ^{− T} ( p , t ) n ˆ ( l ) ^. T ( x , t ) n ( x , t ) _{x = ph ( p , t )} ,

ξ

ξ
Qayerda _ n I ( l ) — vektor tashqi normalar Kimga D _∗ V e ga ishora p , ∇ ph ^{− T} = ∇ ph ^{− 1 T} . Ta'riflar
tenzorlar T , T ⁽¹⁾ Va T ⁽²⁾ , A Shuningdek ulash ularning nisbatlar mumkin toping V [9].
Muammoni yuqorida yozilgan tenglamalarga qo'yishni yakunlash uchun zarur qo'shish boshlang'ich sharoitlar Uchun v , ph Va ∂tph _{_} _ da t = t ₀ .

§ 2. Xulosa yangi modellar

Shuning uchun (1)–(9) tenglamalar tizimini matematik jihatdan o‘rganish qiyin Unga asoslanib, biz boshqa, oddiyroq modelni quramiz. O'zgarishlar tavsifga ta'sir qiladi elastik tanasi Va sharoitlar juftlashtirish.

§ 2.1. Tenglama elastik deformatsiyalar tanasi

IN chiziqli nazariyalar elastiklik taxmin qilingan, Nima kattalik |∇ u ( p , t ) | kichik Uchun hamma t Va hamma p ∈ S _∗ , Nima mos keladi ozgina deformatsiyalar jismlar. IN bizning hol bu kattalik kichik emas, chunki tana mahkamlanmagan va suyuqlikda harakatlana oladi. Shunung uchun ph ni qattiq (qattiq) harakat va yig'indisi sifatida tasvirlaymiz kichik deformatsiya. X _c ( t ) jismning og'irlik markazi S ( t ) bo'lsin . Umumiylikni yo'qotmasdan Biz mumkin hisoblash, Nima xc ( t _∗ ) _{_} = 0 . Keyin qattiq Qism harakat mumkin o'rnatish Bilan yordami bilan Keyingisi ko'rsatish:
p ›→ ps ( p , t ) = xc ( t ) _{_} + R ( t ) p ,
Qayerda R ( t ) — operator burilish, T. e. RR ^T = R ^T R = I Va det R = 1 . Farq orasida ph Va
ps bo'ladi tanishtirish deformatsiya jismlar. Shunday qilib yo'l,


ph ( p , t ) = xc ( t ) _{_} + R ( t ) p + R ( t ) ē ( l , t ) ,
vektor funksiya qayerda ē ( l , t ) nisbiy harakat mavjud (ko-tizimga nisbatan ordinator, harakat qaysi beriladi ko'rsatish ps ) material zarralar, qaysi mos yozuvlar konfiguratsiyasida p nuqtada edi , R ( t ) ē ( l , t ) esa mutlaqo qattiq koordinatalar tizimiga nisbatan chiziqli elastik siljish . Eng ichida aslida, ruxsat bering { k ₁ ( t ) , k ₂ ( t ) , k ₃ ( t ) } — aylanuvchi birga Bilan tanasi ortonormal -

i=1
ny asos V R3 , ^_ T . e. k _men ( t ) = R ( t ) e _i , i = 1 , 2 , 3 . Keyin _ _ _ R ( t ) ē ( p , t ) = R ( t ) ^{S 3} ē _i ( l , t ) e _i =

Σ₌
3
i =1
i _i ( p , t ) k _i ( t ) .

Qiyin emas qarang, Nima
2E ( u ) _ = 2E ( ē ) _ = ∇ē _ + ∇ ē ^T + ∇ ē ^T ∇ ē .
Biz tananing deformatsiyalari kichik deb taxmin qilamiz va biz miqdorlarni e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin buyurtma |∇ ķ | ^2018-04-22 _ Keyin E ( u ) ifodasini (6) ga, keyin esa (5) ga almashtirgandan keyin biz olamiz
rS _∗ ^_ x¨c _ _{_} + R¨ ^_ ( p + ē ) + 2 R˙ ^_ ∂ _t ē + R ∂ ē =
2


S

= R div l I div ē + mk ( ∇ē _ + ∇ ē ^T ) + r ^∗ f ^∗ , (10)

Qayerda nuqta yuqorida belgisi funktsiyalari, qarab faqat dan vaqt, anglatadi uni hosila. Chap tarafdagi birinchi va ikkinchi hadlar inersiya kuchlari, uchinchisi esa kuchdir Koriolis. Keling, tavsif uchun ushbu shartlarni hisobga olish qanchalik muhimligini bilib olaylik saniya deformatsiya jismlar. Uchun bu Biz ko'rib chiqing biroz tipik materiallar.

Chelik. Faraz qilaylik Nima L Mavjud xarakterli hajmi tanasi Va deformatsiya ē Unda bor buyurtma 10 ^{− 2} L. _ Da deformatsiyalar Ko'proq buyurtma paydo bo'ladi plastik oqimlar, qaysi Biz Yo'q Biz ko'rib chiqamiz. Shuni eslatib o'tamiz Nima doimiy Cho'loq bo'lish bor buyurtma 10 ¹¹ N/m ² , zichligi r ~ 8 10 ³ kg/ ^m3 . Avval statik muammoni ko'rib chiqaylik. Mayli po'lat kub qandaydir massa kuchi bilan cho'zilgan g (masalan, tortishish yoki inertsiya kuchi) uning chetlaridan biri bo'ylab. Bunda nisbiy cho'zilish d yo'nalishi hisoblangan tomonidan Keyingisi formula:
r g L ²
d = _{2 E} , (o'n bir)
bu yerda E = m (3 l +2 m ) ( l + m ) ^{- 1} - Young moduli, po'lat uchun 2,1 10 ¹¹ ga teng H/ ^m2 . Orqasida - belgi, Nima formula (o'n bir) rost Yo'q faqat Uchun Kuba, Lekin Va Uchun tayoq uzunligi L , ega ixtiyoriy bo'lim. Agar L = 10 ^{− 1} m va g = 10 m/s ² (tortishish tezlanishi), u holda d 10 ^{- 8} tartibli bo'ladi . Cheklovchi elastik deformatsiyalar tartibidagi d ni olish uchun ( 10 ^{− 2 ), bizda} g ~ 10 ⁷ bo'lishi kerak m/s ² . Bu suyuqlikdagi tana harakatining tezlashishi kavitatsiya hosil bo'lishiga va natijada foydalanish mumkin emasligiga olib keladi tenglamalar Navier - Stokes.
Keling, dinamik muammoni ko'rib chiqaylik. Keling , tabiiy ko'rsatkichlarning ō chastotasini pastdan baholaylik. tana tebranishi. Tana chekka bo'ylab o'rnatilsin, ya'ni. ē = 0 yoqilgan D _∗ . Chastotani aniqlash uchun ō Biz kerak qaror spektral vazifa:

− 4 p ² r ō ² h = div l I div h + mk ( ∇h _ + ∇ h ^T ) S _∗ da ,