Koshi ta’rifiga ko‘ra soni funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin: Unda
Bo‘lganda
(1)
bo‘ladi. nuqta to‘plamning limit nuqtasi. Unda 2-teoremaga ko‘ra ketma-ketlik topiladiki, da bo‘ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan
(2)
bo‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan uchun
bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa sonini Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti ekanini bildiradi.
Endi soni Geyne ta’rifi bo‘yicha funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘lsin.
Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni funksiyaning nuqtadagi limiti Geyne ta’rifi bo‘yicha ga teng bo‘lsa ham, Koshi ta’rifi bo‘yicha limiti bo‘lmasin. Unda biror uchun ixtiyoriy son olinganda ham ni qanoatlantiruvchi biror da
bo‘ladi.
Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi {} ni olaylik: da .
U holda
(3)
bo‘ladi. Ammo , da , demak, Geyne ta’rifiga asosan
bo‘ladi. Bu (3) ga ziddir. Demak, soni Koshi ta’rifi bo‘yicha ham, funksiyaning nuqtadagi limiti bo‘ladi.
Funksiyaning o‘ng va chap limitlari. Aytaylik, funksiya to‘plamda berilgan, nuqta ning chap limit nuqtasi bo‘lib,