Microsoft Word Materiallar Full

II INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE OF YOUNG RESEARCHERS 

97 

 Qafqaz University                         

          18-19 April 2014, Baku, Azerbaijan 

О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ 

 

Нара ДЖАФАРОВА 

Университет Кавказ 

[e-mail] 

 

         Наличие  отклонения - запаздывания  в  изучаемой  системе – зачастую  оказывается  причиной  явлений, 

существенно влияющих на ход процесса.  

         Дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом называются дифференциальные уравнения, 

в которых неизвестная функция и её производные входят при различных значениях аргумента. 

        Рассмотрим дифференциальное уравнение -го порядка с  отклонениями аргумента: 

,

, … ,

,

, … ,

, … ,

, 

где 

;

. 

       Здесь под 

 понимается  –я производная от функции 

, взятая в точке

. 

       Обозначим в этом уравнении 

. 

       Уравнения, для которых 

0, называются уравнениями с запаздывающим аргументом. 

        Уравнения, для которых 

, называются уравнениями нейтрального типа. 

       Уравнения, для которых 

0, называются уравнениями опережающего типа. 

       Рассмотрим  применения  операционного,  пошагового,  производящих  функций  и  численного  методов  для 

решения задач с запаздывающим аргументом. 

 

Пошаговый метод 

       Наиболее  естественным  методом  решения  этой  задачи  является  так  называемый  метод  шагов  (или  метод 

последовательного  интегрирования),  заключающийся  в  том,  что  решение 

 рассматриваемой  задачи 

определяется из дифференциальных уравнений без запаздывания. 

Пример: 

1 ,

1, для

1

0. 

Найти

1 при

1

, где

1,2,3, … . 

Решение:  

Так как в данном примере 

при

1

0, то при 

1

 имеем: 

1

1

1. 

Подставляя в исходное уравнение, получаем: 

,

1. 

Интегрируя справа и слева по  и учитывая, что 

0

1,

1

,т.е. на этом участке 

решение – линейная функция, имеем: при 

1

2,

1

1

. 

Подставляя в исходное уравнение, получаем: 

,

. 

        Интегрируя справа и слева по t, и учитывая, что х(1)=2, получаем: 

,т.е. на этом участке решение – парабола. 

        На последующих участках с течением времени гладкость решения повышается. 

1

!

,   при

1

, где

1,2,3, … . 

       Для более общего вида уравнения: 

,

1

0, 

при

1

0. 

     Применяя метод шагов и используя метод математической индукции, получим его решение в виде: 

1

!

. 

Также мы рассмотрим новый тип функционально-дифференциального уравнения  

,

1

2

1

. 

 

 

 

---