2. İkinci görkəmli limit. . (8)
İsbatı. olan hal üçün (n- natural ədəddir) (8)-in doğruluğunu isbat etmişik:
.
İndi isə fərz edək ki, x həqiqi ədəd olmaqla . Aydındır ki, hər bir kifayət qədər böyük həqiqi ədədi üçün elə n natural ədədi vardır ki,
(9)
olur. (9)-dan alırıq:
. (10)
(9) və (10)-a əsasən
. (11)
(9)-dan alınır ki, şərtində . Digər tərəfdən olmasından istifadə edərək yaza bilərik:
, (12)
. (13)
(11)-(13)-ə əsasən bərabərsizlikdə limitə keçmə teoreminin şərtləri ödənilir. Ona görə şərtində (11)-də limitə keçib, (12), (13)-ü nəzərə alsaq, (8)-i alarıq.
3. (14)
İsbatı. (8)-də əvəz edək. Aydındır ki, şərtində . Onda (8)-dən alırıq:
. (15)
(15)-də y əvəzinə x yazsaq, (14) alınır.
4. (16)
İsbatı. . (14)-ə asasən sonuncu bərabərsizlikdən alırıq:
.
(16) düsturunda götürdükdə və olduğu üçün
düsturunun doğruluğu alınır.
5. (17)
İsbatı. əvəz edək. Buradan alınır. Onda . Digər tərəfdən şərtinə bərabərliyindən olduğu alınır. Bunları və (15)-i nəzərə alıb, (17)-nin sol tərəfindəki limiti belə çevirmək olar:
(17)-də götürdükdə aşağıdakı limiti alırıq:
Misal 6. limiti hesablamalı.
Həlli. .
Misal 7. limiti hesablamalı.
Həlli. .
6. Sonsuz kiçilənlərin müqayisəsi Tutaq ki, sonsuz kiçilənləri eyni zamanda bir arqumentinin funksiyalarıdır və bunların sıfıra yaxınlaşması arqumentinin limitinə və ya sonsuzluğa yaxınlaşması şərtində olur. Bu kəmiyyətlərin nisbətinə baxaraq, onların sıfıra necə yaxınlaşmalarını xarakterizə edək.
Tərif 1. Tutaq ki, nisbətinin limiti var və bu limit sıfırdan fərqlidir, yəni onda , sonsuz kiçilənlərinə eyni tərtibli sonsuz kiçilənlər deyilir.
