Nəticə 1. Sabit vuruğu limit işarəsi xaricinə çıxarmaq olar:
.
Bu sabitin limitinin özünə bərabər olmasından alınır.
Nəticə 2. Sonlu limiti olan və funksiyalarının fərqinin limiti onların limitləri fərqinə bərabərdir
.
Nəticə 3. Sonlu limiti olan funksiyası üçün
bərabərliyi doğrudur.
Teorem 3. və funksiyalarının sonlu limitləri varsa və olarsa, onların nisbətinin limiti bu funksiyaların limitlərinin nisbətinə bərabərdir:
.
Misal 5. limitini hesablayın.
Həlli. Limitlər haqqında qeyd etdiyimiz 3-cü, 1-ci və 2-ci teoremlərdən ardıcıl istifadə etsək:
.
Teorem 4. -in -ın müəyyən ətrafındakı bütün qiymətlərində bərabərsizliyi ödənilirsə və limiti sonludursa, onda
bərabərsizliyi də ödənilər.
Bu teoremdən aşağıdakı nəticə alınır.
Nəticə. və funksiyasının şərtində limiti varsa və -in -ın müəyyən ətrafındakı bütün qiymətlərində
limiti varsa və -in -ın müəyyən ətrafındakı bütün qiymətlərində
bərabərsizliyi ödənilirsə, onda:
olar.
5. Görkəmli limitlər. Aşağıdakı limitlərə uyğun olaraq birinci və ikinci görkəmli limitlər deyilir:
, .
Bu limitlərdən geniş istifadə olunduğuna görə onların doğruluğunu isbat edək.
1 .Birinci görkəmli limit. . (1)
İsbatı. Əvvəlcə götürək. . Şəklə əsasən , (2)
. (3)
, (4)
, (5)
. (6)
Şəkildən və (2)-(6) bərabərliklərindən alırıq:
Sonuncu bərabərsizliyin bütün hədlərini -ə bölək:
. (7)
Biz (7) bərabərsizliyinin doğruluğunu olan hal üçün göstərdik. (7) bərabərsizliyi olan halda da doğrudur. Doğrudan da, olduğunu nəzərə alıb, (7)-də x əvəzinə –x yazsaq buna əmin olmaq olar.
olduğu üçün bərabərsizlikdə limitə keçmə teoreminə əsasən (7)-dən (1)-in doğruluğu alınır.
