MühaziRƏ 2 XƏTTİ TƏNLİKLƏr sistemi Plan

Misal 1.

xətti tənliklər sistemini həll edək.
sistemin əsas matrisi, isə sistemin genişlənmiş matrisidir.
-dir. Kronoker-Kapelli teoreminə əsasən bu sistemin həlli var. -nın bazis minoru -dir. Əmsalları bazis minoruna daxil olan tənlikləri saxlayıb digərlərini nəzərdən ataq:

Əmsalları bazis minora daxil olan dəyişənlərini solda saxlayıb, dəyişənlərini sərbəst dəyişənlər adlandırmaqla bərabərliyin sağ tərəfinə keçirək:

Sistemdə , yazaq:

Alınan sistem kvadrat sistemdir. bazis minoru bu sistemin əsas determinantıdır. Kramer düsturuna əsasən




sistemin həllidir. və ixtiyari qiymətlər aldığına əsasən sistemin sonsuz sayda həlli var.
Misal 2.

xətti tənliklər sistemini həll edək.
sistemin əsas matrisi, isə sistemin genişlənmiş matrisidir.
, -dür. olduğuna əsasən bu sistem birgə sistem deyil.
2. Bircins xətti tənliklər sistemi. Bircins və qeyri-bircins xətti tənliklər sisteminin həlləri arasında əlaqə.
sayda məchuldan və sayda tənlikdən ibarət bircins xətti tənliklər sisteminə baxaq:
(13)
(13) sistemi birgə sistemdir və həmin sistemin həmişə həlli var. Bu sistemin matrisilə onun genişləndirilmiş martisinin ranqları eynidir. Belə ki, - nın axırıncı sütun elementlərinin hamısı sıfır elementlərindən ibarət olduğundan onun ranqı -nın ranqına bərabərdir:

həllinə (13)– ün sıfır və ya trival həlli deyilir.
Teorem 2: (13) bircins xətti tənliklər sisteminin olduqda yalnız trivial həlli, olduqda isə qeyri - trivial həlli var.
İsbatı: olduqda yuxarıda qeyd edilən alqoritmə əsasən determinantı sıfırdan fərqli olan məchullu sayda tənlikdən ibarət sistem alınır. Kramer qaydasına görə bu sistemin kimi yeganə həlli var. Bircins sistem üçün - lərin bir sütunu ancaq sıfırlardan ibarət olduğundan - dır. Deməli, -dır.
olduqda sistemə sayda əsas, sayda isə sərbəst məchul daxil olur. Sərbəst məchullara sıfırdan fərqli ixtiyari qiymətlər verməklə (13)– in qeyri - trivial həlli alınır.
(13) – də tənliklərin sayı məchulların sayından az olduqda bu sistemin sıfır həllindən əlavə sıfırdan fərqli sonsuz sayda həlli var.
Nəticə: məchullu sayda tənlikdən ibarət bircins xətti tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlli olması üçün zəruri və kafi şərt sistemin determinantının sıfra bərabər olmasıdır.
Lemma: Əgər -lər (13)-ün həllidirsə, onda və ədədi üçün -lər (13)–ün həlləridir.
İsbatı: (13)–ü aşağıdakı kimi yazaq:
(14)
(14)– də uyğun olaraq, və yazaq:

Bircins xətti tənliklər sisteminin həllərinin ixtiyari xətti kombinasiyası həmin sistemin həllidir.
Bircins xətti tənliklər sisteminin maksimal sayda xətti asılı olmayan həllər sisteminə onun fundamental həllər sistemi deyilir.
Bircins xətti tənliklər sisteminin sıfırdan fərqli həlləri olduqda onun fundamental həllər sistemi var.
Teorem 3: Əgər bircins xətti tənliklər sisteminin ranqı , həmin sistemin məchullarının sayı - dən kiçikdirsə, onda bu sistemin fundamental həllər sistemi sayda həlldən ibarətdir.
Teorem 4: (1)-in ixtiyari həllilə uyğun (13) bircins sisteminin ixtiyari həllinin cəmi (1)-in həllidir.
İsbatı: Tutaq ki, - lər (1)-in, - lər isə (13)-in həllidir. (1)-i aşağıdakı kimi yazaq:
(15)
(15)- də olduğunu nəzərə alaq: