Mühazirələr Orta Ixtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

Misal 2. 173₁₀ ədədini 8-lik say

sistem 173	ində t 8	əsvir ed
5	21	8
	5	2

ək:

173₁₀ = 255₈ alırıq.

Misal 3. 243₅ ədədini 4-lük say sistemində təsvir edək: 243₅ = 2 5² + 4 5 + 3 = 50+20+3 =73₁₀

73	4
4	18	4
33	16	4	4

32 2 4 1

1 0

243₅ = 1021₄ alırıq.

Mövzu 11. Kəmiyyətlərin ölçülməsi. Skalyar kəmiyyətlər. Uzunluq ölçü vahidləri.

Plan

1. 
   Kəmiyyət anlayışı və onun xüsusiyyətləri.
   
2. 
   Skalyar kəmiyyətlər və onların xassələri.
   
3. 
   Parçanın uzunluğu və onun ölçülməsi.
   
4. 
   Uzunluq ölçü vahidləri və onlar arasında əlaqə.
   

1. 
   Kəmiyyət anlayışı riyaziyyatın əsas anlayışlarından olub, onun meydana gəlməsi və formalaşması çox qədim tarixə malikdir. Riyaziyyat elminin inkişafı ilə yanaşı kəmiyyət anlayışının da mənası bir sıra ümumiləşdirmələrə məruz qalmışdır. Hələ Evklidin “Başlanğıclar” əsərində indi skalyar kəmiyyət adlandırılan kəmiyyətlərin xassələri şərh edilmişdir. Kəmiyyət anlayışı da digər riyazi anlayışlar kimi insanların praktik ehtiyaclarının tələbləri nəticəsində yaranmışdır. Belə ki, hələ çox qədimdən insanlarda müxtəlif fiziki, həndəsi və bu kimi real obyektlərin xassələrini öyrənməyə, onları müqayisə etməyə ciddi ehtiyac yaranmışdır. Belə ölçmə müəyyən kəmiyyətin bir xassəsinə, bu xassəni xarakterizə edən müəyyən ədədin qarşı qoyulmasının riyazi konstruksiyasının yaradılmasına gətirmişdir. Kəmiyyət anlayışının hər bir konkret növü fiziki, həndəsi və digər obyektlərin müəyyən müqayisəsi ilə bağlı olduğundan, ümumi kəmiyyət anlayışı daha konkret kəmiyyətlər olan uzunluq, sahə, həcm, kütlə və s. kəmiyyətlərin bilavasitə ümumiləşməsidir. Məhz sahələrin, uzunluqların, həcmlərin, kütlənin, temperaturun və s. ölçülməsi kəmiyyətin xarakterik xassəsinə müəyyən ədədin qarşı qoyulması üsullarının riyazi konstruksiyalarındandır.
   

Məktəb kursunda “kəmiyyət” anlayışı “ədəd” ilə yanaşı həmişə aparıcı anlayış olmuşdur. Lakin məktəb kursunda baxılan konkret kəmiyyətlərlə bağlı müəyyən məsələlərin öyrənilməsi bu anlayışının məzmununun məntiqi ciddiliklə açılmasına gətirmir, yəni “kəmiyyət nədir?” sualına tam cavab vermir. Qoyulmuş suala cavab vermək üçün intuitiv təsəvvürlərə əsaslanaraq kəmiyyətin aşağıdakı xarakterik xüsusiyyətlərinin şərhini vermək zəruridir.

1. 
   Kəmiyyət, əşya və hadisələrin müəyyən xassəsidir. Fizika kursundan kütlə, temperatur, sürət, uzunluq, rütubət, cərəyan şiddəti və s. bu kimi kəmiyyətlər bizə məlumdur. Buların hamısı əşya və hadisələrin xassələridir. Əşya və hadisələrin belə xassələrindən birini a ilə işarə edək. Bu xassəyə malik olan əşyalar müəyyən M çoxluğunu əmələ gətirir. Bu halda M çoxluğunun elementləri a kəmiyyətinə malikdir. Məsələn a kütlədirsə, onda M çoxluğu elə əşyalar çoxluğudur ki, bu əşyalar haqqında “kütləy ə malik olmaq” terminin mənası var.
   
2. 
   Kəmiyyət, əşya və hadisələrin elə xassəsidir ki, bu xassə həmin əşyaları müqayisə etməyə imkan verir. Başqa sözlə M çoxluğunu a xassəsinə nəzərən ekvivalent olan siniflərə bölməyə imkan verən ekvivalentlik binar münasibəti təyin olunur.Məsələn, M çoxluğunda bütün əşyalar uzunluq xassəsinə malik olduqda, eyni uzunluqda olan bütün əşyalar ekvivalentlik sinfi əmələ gətirir.
   

Kəmiyyətlər bircins və bircins olmayan kəmiyyətlər olmaqla iki qrupa bölünür.

Müəyyən çoxluğun obyektlərinin eyni xassələrini ifadə edən kəmiyyətlərə bircins kəmiyyətlər deyilir. Obyektlərin müxtəlif xassələrini ifadə edən kəmiyyətlərə isə bircins olmayan kəmiyyətlər deyilir. Məsələn, uzunluq və sahə bircins olmayan kəmiyyətlərdir Kəmiyyətləri riyazi üsullarla öyrənmək üçün onların ədədlərə xas olan xassələrə

malik olduğunu aşkar etmək lazımdır. Bu, həm də kəmiyyətlər üçün miqdar

xarakteristikası təyin etmək üçün zəruridir. Bunun üçün kəmiyyətlərin aşağıdakı xarakteristikasını göstərək.

1. 
   İxtiyari iki bircins kəmiyyət müqayisə olunandır. Yəni, iki ixtiyari bircins a və b kəmiyyətləri üçün münasibətlərindən biri eyni zamanda doğru ola bilər. Məsələn, düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu bu üçbucağın ixtiyari katetindən böyükdür.
   
2. 
   İki eyni cinsli kəmiyyəti toplamaq olar və toplamanın nəticəsi həmin cinsdən olan kəmiyyətdir. Başqa sözlə, ixtiyari iki a və b kəmiyyətləri üçün onların cəmi adlanan a+b kəmiyyəti təyin olunur. Məsələn, AB parçasının uzunluğu a, BC parçasının uzunluğu b olduqda, onda AC parçasının uzunluğu AB və BC parçalarının cəminə bərabərdir.
   

a b

A B C

3. 
   Kəmiyyəti həqiqi ədədə vurmaq olar. Nəticədə həmin cinsdən olan kəmiyyət alınır. Doğrudan da, ixtiyari a kəmiyyəti və ixtiyari mənfi olmayan ədədi üçün onların hasili adlanan yeganə b = a ∙ kəmiyyəti var. Məsələn, uzunluğu a olan AB parçasını ədədinə vurduqda uzunluğu 2a olan AC parçasını alırıq.
   

4. 
   İki eynicinsli kəmiyyəti çıxmaq olar və bu zaman fərq cəm vasitəsilə təyin olunur. Yəni a və b kəmiyyətlərinin fərqi elə c kəmiyyətidir ki, a=b+c münasibəti doğru olsun. Məsələn, AC parçasının uzunluğu a, AB parçasının uzunluğu b olduqda BC parçasının uzunluğu AC və AB parçalarının fərqinə bərabərdir.
   
5. 
   İki eynicinsli kəmiyyətin birini digərinə bölmək olar. Bu zaman qismət vurma əməli vasitəsilə təyin edilir. Yəni a və b kəmiyyələrinin qisməti elə mənfi olmayan ədədinə deyilir ki, a = b ∙ bərabərliyi ödənilsin. Bu halda ədədini a və b kəmiyyətlərinin nisbəti
   

də adlandırırlar və

kimi yazılır.Məsələn, AC parçasının uzunluğunun AB

parçasının uzunluğuna nisbəti .

2. 
   Kəmiyyət anlayışının meydana gəlməsi və formalaşması prosesi uzun tarixi yol keçmişdir. Belə ki, elmin inkişafı kəmiyyət haqqında ilkin intuitiv təsəvvürlərin dəqiqləşdirilməsi və ümumiləşdirilməsi ilə nəticələnmişdir. Belə ümumiləşdirmələrin nəticəsi olaraq skalyar və
   

vektorial kəmiyyətlər kimi kəmiyyət tipləri aşkar edilmişdir.

Skalyar kəmiyyət, öz növündən olan ölçü vahidi ilə müqayisəsindən alınan bir ədədlə (ədədi qiyməti ilə) tamamilə təyin olunur. Uzunluq, sahə, həcm, kütlə və s. skalyar kəmiyyətə tipik misal ola bilər. Yuxarıda şərh etdiyimiz kəmiyyətin xarakterik xüsusiyyətləri məhz skalyar kəmiyyətlərə xasdır.

Vektorial kəmiyyətlərin tamamilə təyin olunması üçün bir ədədin verilməsi kifayət deyil. Belə kəmiyyətlərin təyin olunması üçün ədədi qiymətlərindən başqa onların istiqamətləridə göstərilməlidir. Sürət, qüvvə, təcil və s. vektorial kəmiyyətlərə misal ola bilər.

Riyaziyyatın ibtidai kursunda əsasən skalyar kəmiyyətlərə baxılır. Skalyar kəmiyyətlərin ümumi tərifini verək:

Tərif. Seçiliş vahidlər sistemində yalnız ədədi qiyməti ilə xarakterizə olunan kəmiyyətə skalyar kəmiyyət deyilir.

Tərifdən görünür ki, skalyar kəmiyyət hadisə və ya əşyanın (obyektin) xassəsidir və bu xassə aid olduğu əşya və ya hadisələrin müqayisəsinə və ekvivalent olmayan iki əşyadan hansının həmin xassəyə daha böyük ölçüdə malik olduğunu təyin etməyə imkan verir.

3. 
   Tərif. Parçanın uzunluğu hər bir verilmiş parça üçün aşağıdakı şərtləri ödəyən müsbət kəmiyyətə deyilir:
   

1. 
   Bərabər parçaların uzunluqları bərabərdir;
   

2. 
   Parça sonlu sayda parçalardan təşkil olunmuşsa, onda onun uzunluğu təşkiledici parçaların uzunluqları cəminə bərabərdir.
   

Parçanın uzunluğunun ölçülməsi prosesini izah edək. Parçalar çoxluğundan hər hansı e parçasını seçib, onu uzunluq vahidi qəbul edək. a parçasının başlanğıc nöqtəsindən başlayaraq onun üzərində e parçasına bərabər ardıcıl parçalar ayırıb və bu prosesi mümkün qədər davam etdirək. Əgər e parçasına bərabər parçalar n dəfə ayrıldıqdan sonra sonuncu ayrılmış parçanın uc nöqtəsi ilə a parçasının uc nöqtəsi üst-üstə düşürsə, bu halda a parçasıının qiyməti n ədədinə bərabərdir və bu

a = ne kimi yazılır. Əgər e parçası a üzərində tam dəfə yerləşdikdən sonra e-dən kiçik bir a₁ qalığı qalırsa, onda e₁ parçasını ölçü vahidi qəbul edib a₁ parçası eyni qayda ilə ölçülür.

Parçanın uzunluğunun bir neçə mühüm xassələrini şərh edək.

1. 
   Seçilmiş ölçü vahidində ixtiyari parçanın uzunluğu müsbət həqiqi
   

ədədlə ifadə olunur və tərsinə, hər bir müsbət həqiqi ədəd üçün uzunluğu bu ədədlə ifadə olunan parça var.

2. 
   İki bərabər parçanın uzunluqlarının ədədi qiymətləri də bərabərdir və tərsinə iki parçanın uzunluqlarının ədədi qiymətləri bərabərdirsə, bu parçalar özləri də bərabərdir.
   
3. 
   Verilmiş parça bir neçə parçaların cəmindən təşkil olunmuşsa, onda onun uzunluğunun ədədi qiyməti toplananların uzunluqlarının ədədi qiymətlərinin cəminə bərabərdir .
   
4. 
   Uzunluq ölçü vahidi ondan k dəfə böyük olan (k dəfə kiçik) olan yeni ölçü vahidi ilə əvəz etdikdə ölçülən parçanın uzunluğunun ədədi qiyməti də k dəfə kiçilir (k dəfə böyüyür).
   

4. 
   Məktəb kursunda geniş istifadə edilən uzunluq vahidləri və onlar arasında əlaqələri nəzərdən keçirək.
   

1. 
   metr 10 desimetrdən ibarətdir və tərsinə, 1 desimetr metrin onda bir hissəsinə bərabərdir.
   
2. 
   desimetr 10 santimetrdən təşkil olunmuşdur və tərsinə, 1sm desimetrin onda bir hissəsinə bərabərdir.
   
3. 
   Santimetr 10 millimetrdən təşkil olunmuşdur və tərsinə, 1mm santimetrin onda bir hissəsinə bərabərdir.
   

Beləliklə, 1m = 10dm = 100sm = 1000mm. Bəzi nəzəri məsələlərdə və tədris təcrübəsində millimetrdən də kiçik olan mikrometr uzunluq vahidindən də istifadə edilir və 1mkm kimi işarə edilir.

1mkm = 0,000001m = 0, 001mm

Həmçinin praktik məsələlərdə metr vahidindən böyük olan kilometr (km), hektometr (hm), dekametr(dekm) vahidlərindən geniş istifadə edilir. Bu vahidlər arasında əlaqə aşağıdakı kimidir:

1dekm = 10m, 1hm =100m, 1km = 1000m. Qeyd edək ki, “deka” on, “hekto” yüz, “kilo” min mənasını verir.