Mühazirələr Orta İxtisas Təhsil müəssisələrində fənnin tədrisi üçün nəzərdə tutulub

Mülahizə və onlar üzərində əməllər

Mülahizə dedikdə zaman və məkanın verilmiş şərtində doğru, yaxud yalan ola biləcək bir fikri ifadə edən nəqli cümlə başa düşülür. Mülahizələr doğru, yaxud yalan kimi məntiqi qiymətlər alır.

Məsələn, “2x2=4”, yaxud, “Bakı şəhəri Azərbaycan Respublikasının paytaxtıdır” cümlələri mülahizələrdirlər, “Saat neçədir?”, yaxud “6x²+14x+22=0 tənliyini həll edin.” cümlələri isə mülahizə deyildir. Mülahizələr doğru, yaxud yalan kimi məntiqi qiymət- lərdən yalnız birini alır, yəni, heç bir mülahizə eyni zamanda həm doğru, həm də yalan kimi məntiqi qiymətlər ala bilməz. Eyni bir mülahizə zaman və məkanın verilmiş şərtindən asili olaraq doğru, yaxud yalan kimi məntiqi qiymətlərin hər birini (lakin hər ikisini eyni zamanda olmamaqla) ala bilər.

Bir neçə mülahizə nümunələrinə baxaq:

1. 
   Bakı şəhəri Xəzər dənizinin sahilində yerləşir.
   
2. 
   Moskva – İngiltərənin paytaxtıdır.
   
3. 
   Qurbağa balıq deyil.
   
4. 
   6 ədədi 2-yə və 3-ə bölünür.
   
5. 
   33 ədədi sadə ədəddir.
   
6. 
   Əgər a müsbət həqiqi ədəddirsə, onda a ədədinin modulu özünə bərabərdir.
   
7. 
   Yağış yağır.
   

1), 3), 4), 6) mülahizələri doğru, 2),5) mülahizələri isə yalan mülahizələrdir.

7) mülahizəsi isə zaman və məkanın verilmiş şərtindən asili olaraq doğru, yaxud yalan

qiymətlərdən yalnız birini ala bilir.

Bir fikri, təklifi ifadə edən mülahizələr sadə, yaxud elementar mülahizələr adlandırılır. Məsələn yuxarıda qeyd olunan 1), 2) və 5) mülahizələri sadə mülahizələrdir. Elementar mülahizələrdən, onları “deyil”, “və”, “və ya”, “əgər ..., onda ...”, “onda və yalnız onda” və s. qrammatik bağlayıcıları vasitəsi ilə əlaqələndirilməklə alınan yeni mülahizələrə mürəkkəb, yaxud quraşdırılmış mülahizələr deyirlər. Məs. 3), 4) və 6) mü- lahizələri mürəkkəb mülahizələrdir, belə ki, 3) mülahizəsi “qurbağa balıqdır” mülahizə- sindən “deyil” inkarı vasitəsi ilə alınmışdır, 4) mülahizəsi isə “6 ədədi 2-yə bölünür” və “6 ədədi 3-ə bölünür” mülahizələrindən “və” bağlayıcısı vasitəsi ilə əlaqələndirilməklə alınmışdır, 6) mülahizəsi isə “a müsbət ədəddir” və “a ədədinin modulu özünə bəra- bərdir” mülahizələrindən “əgər.., onda..” bağlayıcısı vasitəsi ilə qurulmuşdur.

Elementar mülahizələri latın əlifbasının kiçik hərifləri ilə işarə edəcəyik: a,b,c,…,x,y,z,.... Doğru məntiqi qiyməti D hərfi ilə, yaxud 1 rəqəmi ilə, yalan məntiqi qiyməti Y hərfi ilə, yaxud 0 rəqəmi ilə işarə edəcəyik. Deməli biz mülahizələr çoxluğunda təyin olunmuş və iki elementdən ibarət olan {0;1}(yaxud {Y;D}) çoxluğunda qiymətlər alan bir funksiya təyin etmiş oluruq. Bu funksiyanı f ilə işarə etsək, a mülahizəsi doğru

olduqda f(a)=1, yalan olduqda isə f(a)=0 alarıq. Adətən a mülahizəsinin doğru yaxud yalan məntiqi qiymət almasını qeyd edərkən funksiyanın f işarəsindən istifadə etmədən uyğun olaraq a =1 yaxud a =0 kimi yazırlar.

Mülahizələr hesabının lüğəti verilmiş elementar (atomar) mülahizələri bağlayıcılarla birləşdirib, mürəkkəb mülahizələr qurmağa imkan verir. Qurma qaydası dilin obyekti olan ifadələri müəyyən edir. Belə mülahizələr “düstur” adlanır. Təbii dilə bunun analogiyası frazasıdır. Qurma qaydası aşağıdakılardan ibarətdir:

1. 
   Bazis: hər bir mülahizə düsturdur;
   
2. 
   ^{İnduksiya addımı: əgər P və Q düsturdursa, onda } _{P, (P} ^ _{Q), (P}^ _{Q), (P} _{Q) və} (P ^ Q)-da düsturlardır.
   
3. 
   Məhdudiyyət: düstur bazis və induksiya addımında müəyyən edilmiş qaydaların köməyi ilə birqiymətli olaraq alınır.
   

^{U  V  V  U }düsturunu ^{U  V }kimi işarə edəcəyik və ona ekvivalentlik

münasibəti deyəcəyik.

Dairəvi mötərizə qurma qaydasının tətbiq olunma ardıcıllığıdır. Məsələn:

^{p  q  r }düsturunda induksiya addımı 2 dəfə tətbiq edilib. Birinci dəfə q və r

düsturlarından ^{p  r} düsturunun qurulması, ikinci dəfə isə p və ^{q  r}düsturlarından

verilmiş

^{p  p  r } düsturunun alınması zamanı.

U düsturunun özü düstur olan istənilən U düsturunun altdüsturu deyilir.

Təbii və formal dillər sintaksis (söz yığımında frazanı ayırd edir) və semantikaya (frazaya müəyyən qiymət verir) malik olurlar. Bunlar mülahizələr hesabına da aiddirlər.

Semantika – düsturu izah edən qaydalar yığımıdır.

Qəbul edək ki, D-“doğru”, Y-“yalan” məntiqi doğruluq qiymətləri, P və Q atomar mülahizələrdir (və ya düsturlardır). Bu işarələmələrdən istifadə edərək, məntiqi bağlayıcıların (onlara operatorlar da deyirlər) semantikalarının şərhini verək.

Inkarın semantikası cədvəl 1-də verilib:

P	 P
D	Y
Y	D

Cədvəl 1-dən göründüyü kimi, “doğru”nun inkarı “yalan”, “yalan”nın inkarı isə “doğru”dur:  _D=Y,  _Y=D.

Binar məntiqi bağlayıcıların semantikası cədvəl 2-də təsvir edilmişdir:

P	Q	P  Q	P Q	PQ	P ^Q	Ayırıcı zyunksiya
D	D	D	D	D	D	Y
D	Y	Y	D	Y	Y	D
Y	D	Y	D	D	Y	D
Y	Y	Y	Y	D	D	Y

Semantik cədvəllərin köməyilə mürəkkəb düsturların doğruluqlarının yoxlanılması zamanı verilmiş düsturda iştirak edən operandların sayı (n) mühüm rola malikdir. Belə ki, doğruluq qiymətləri cədvəlindəki sətirlərin sayının 2^𝑛-ə bərabər olması şərti ciddi olaraq gözlənilməlidir.

Cədvəl 2-dən göründüyü kimi:

P və Q atomar mülahizələrinin (düsturlarının) hər 2-si D-“doğru” olduqda onların konyunksiyası – (P Q) mürəkkəb mülahizəsinin (düsturunun) məntiqi doğruluq qiyməti D-“doğru”, digər 3 halda isə Y-“yalan” olur.

P və Q atomar mülahizələrinin (düsturlarının) hər 2-si Y-“yalan” olduqda onların dizyunksiyası – (P Q) mürəkkəb mülahizəsinin (düsturunun) məntiqi doğruluq qiyməti Y-“yalan”, digər 3 halda isə D-“doğru” olur.

P atomar mülahizəsi (düsturu) D-“doğru” və Q atomar mülahizəsi (düsturu) ^{Y-“yalan” olduqda onların implikasiyası – (P} ^{Q) mürəkkəb mülahizəsinin (düsturunun)} məntiqi doğruluq qiyməti Y-“yalan”, digər 3 halda isə D-“doğru” olur.

P və Q atomar mülahizələrindən (düsturlarından) biri D-“doğru”, digəri Y- ^{“yalan” olduqda onlar arasındakı ekvivalentlik operatoru vasitəsilə alınan – (}_P_Q⁾ mürəkkəb mülahizəsinin (düsturunun) məntiqi doğruluq qiyməti Y-“yalan”, digər 3 halda isə D-“doğru” olur.

Qeyd edək ki, ənənəvi məntiqdə adi dizyunksiyadan istifadə olunur: “ya P doğrudur, ya Q doğrudur, ya da hər 2-si doğrudur”. Lakin təbii danışıq dilində ayırıcı dizyunksiyadan da istifadə olunur.

Mülahizələr hesabında 5 bağlayıcıdan (operatordan) istifadə olunur. Digər tərəfdən aşkardır ki, bu bağlayıcıların təbii dildə ekvivalentləri vardır.

Məntiqi dizyunksiyanın (MD) 2 operandından heç olmasa biri doğru olduqda, onda o ayırmayan (birləşdirən) adlanır.

Təbii dildə “və ya” bağlayıcısı bəzən kənar edən (ayıran) rolunu görür. Məsələn: “Tam ədəd tək və ya cütdür” cümləsində bir şaxə düzgün olma alternatividir, ancaq o biri yalandır.

Implikasiya çox vacib bağlayıcıdır. O mühakimələrin strukturunu əks etdirir. Onun birinci operandı istinad (və ya antesendent , ikincisi isə nəticə (və ya konsekvent) adlanır. Aydındır ki, əgər istinad doğrudursa, onda implikasiya nəticənin doğruluq qiymətini qəbul edir. Lakin təəccüblü budur ki, istinad yalan olduqda belə implikasiya doğru ola bilər.

Implikasiya yeganə bağlayıcıdır ki, aşağıdakı tələbləri ödəyir:

• 
  əgər 1-ci operand doğrudursa, onda doğruluq qiyməti 2-ci operandın qiymətilə üst-üstə düşür;
  
• 
  doğruluq qiyməti 2 operanddan asılıdır;
  
• 
  bağlayıcı kommutativ deyil;
  

^{Riyaziyyatda bəzən} ^{(bu bağlayıcı  , yaxud → kimi də işarə edilir)} bağlayıcısını materiallı implikasiya adlandırırlar. O, riyazi mühakimədə əsas sayılır və ^{teoremdə şərtlə (H) nəticəni (T) birləşdirir. Buna baxmayaraq, H  T deyil, H}^{T yazılışı} daha yaxşıdır.

Eyni zamanda 𝐶₁ ≡ 𝐶₂ yox, ^C₁ ^{ C}₂ yazılışından daha geniş istifadə olunur. Mülahizələr hesabı mülahizələr arasında xalis funksional-doğru əlaqəni

ifadə edir.

Funksional-doğru ifadə özünün doğruluq cədvəli ilə verilir. N operandlı

ifadə üçün bu cədvəl 2^𝑛 sayda şərtə malik olur. Deməli, binar və unar əlaqələrdən başqa n-ar əlaqələr də mövcuddur.

𝑑𝑒𝑓

Ənənəvi bağlayıcılardan başqa aşağıdakı kimi təyin edilən və ⇔⇒ simvolu

ilə işarə edilən “tərifə görə bərabərlik” bağlayıcısı da var:

𝑑𝑒𝑓

^(X _Y^{) ⇔⇒( } _X^Y);
𝑑𝑒𝑓

(X ^ Y) ^{⇔⇒(X  } Y);
𝑑𝑒𝑓

_(X  _Y) ^⇔⇒((X ^{Y) } _(Y^X)).