Јурилиш материаллари ва конструкциялрини тадіиі этиш ва

R 
Kpas
 
υ
R
 
Kpas
 
υ
R
 
Kosh
 
υ
R
 
Kosh
 
6 
7 
8 
9 
0,83 
0,85 
0,87 
0,89 
10 
11 
12 
13 
0,91 
0,93 
0,96 
0,99 
14 
15 
16 
17 
1,02 
1,05 
1,07 
1,10 
18 
19 
20 
21 
1,14 
1,18 
1,22 
1,26 
Eslatma: variatsiya koeffitsiyenti 
R
υ
> 13,5% bo‘lganda K=1.00. 

---

280 
Ikkinchi misolda betoning mustahkamlik xarakteristikalari ehtimollik 
zichliklarini empirik va nazariy taqsimlanish egri chiziqlari taqqoslangan. Betonning 
180 ta namunasini mustahkamlikka sinash namunalari statistik qatorga keltirilgan 
(11.3-jadval), bunda xona chastotasi yoki statistik ehtimollik P
i
(11.14) formula 
bo‘yicha aniqlangan. Qaralayotgan misol uchun statistik qator ham grafik tarzda 
gistogramma ko‘rinishida (11.4-rasm ) keltirilgan. 
11.3-jadval 
Parametrlar 
Beton mustaxkamligi oraliqlari bo‘yicha parametrlar 
qiymatlari 
Qator 
qiymatlari 
yig‘indisi 
12,1- 
14,0 
14,1
– 
16,0 
16,1
– 
18,0 
18,1
– 
20,0 
20,1 – 
22,0 
22,1– 
24,0 
24,1
– 
26,0 
26,1 
– 
28,0 
28,1
– 
30,0 
Har bir
m
i
 
interval 
sohasida 
mustahkamlik 
qiymatlari soni 
Xona (razrad) 
chastotasi yoki 
p
i
ning statis-
tik extimol-ligi
3 
0,01
7 
13 
0,07
2 
30 
0,16
7 
40 
0,22
2 
41 
0,228 
31 
0,172 
16 
0,18
9 
5 
0,028 
1 
0,00
5 
p=
180 
1,000 
Nazariy egri chiziqni yoki me’yordagi taqsimlash egri chizig‘ini yasash uchun 
me’yorlangan chetlanish
σ
0
x
x
u
i
−
=
 
ni kiritamiz va normal me’yorlangan 
taqsimlashning quyidagi formulasidan foydalanamiz. 
)
(
2
exp
2
1
)
(
2
u
f
nh
u
nh
x
f
x
x
σ
π
σ
=





−
=
(11.18) 
Ko‘rilayotgan holda jadval shaklida hisoblash uchun qulay bo‘lgan o‘rta 
arifmetik xo ni va o‘rtacha kvadratik chetlanishi 
i
σ
ni aniqlash uchun formulalardan 
foydalaniladi: 
C
m
m
h
x
i
i
i
+
Σ
Σ
=
ε
0
; (11.19) 














Σ
Σ
−
Σ
Σ
=
2
2
2
2
i
i
i
i
i
i
x
m
m
m
m
h
ε
ε
σ
, ( 11.20) 

---

281 
Bu yerda: 
h
- mustahkamlikni aniqlash to‘plamlari bo‘lingan intervallarning 
o‘lchami;
n
m
i
=
Σ
- mustahkamlikni aniqlashning umumiy soni; 
ε
- hisoblash uchun qulay bo‘lgan nisbiy kattalik: 
n
C
x
i
/
)
(
−
=
ε
; 
S - mustahkamlikni aniqlashning umummiy intervalning taxminan o‘rtasiga 
mos keluvchi shartli sanoq boshi (qaralayotgan hol uchun S=21). 
11.4-rasm. Gistogramma: -betonning R mustahkamligini taqsimlashning esperimental egri 
chizig‘i; ish taqsimlashning nazariy egri chizig‘i. 
Bajarilgan hisoblarning natijalarni 11.4 jadvalda to‘plangan, unga ko‘ra 
empirik va nazariy taqsimlash egri chiziqlarini taqqoslash qulay. 
(11.19) va (11.20) formulalardan foydalanib, xo va 
х
σ
kattaliklarni 
aniqlaymiz: 
x0 = 
−
2,0 
⋅
69/180+210 = 20,234 
≈
20,2; 
;
14
,
10
]
)
180
/
69
(
180
/
481
[
0
,
2
2
2
2
=
−
=
x
σ
2
,
3
118
,
3
≈
=
x
σ
. 
Mustahkamlik qiymatlarining nazariy soni 
m
i
(11.18) formulaga ko‘ra 
aniqlangan: 
)
(
2
,
3
0
,
2
180
)
(
)
(
1
u
f
u
f
nh
x
f
m
x
⋅
=
=
=
′
σ
Empirik m
i
va nazariy m: kattaliklarni taqqoslash ular o‘zaro yaqin ekanini 
ko‘rsatadi. 
Ko‘rib chiqilgan hol uchun beton xossalarining o‘zgaruvchanligini ifodalovchi 
variatsiya koeffitsiyentini aniqlaymiz: 
%
8
,
15
%
100
)
2
,
20
/
2
,
3
(
%
100
)
/
(
0
0
=
=
=
x
x
x
σ
υ

---

282 
Olingan kattallik 13,5% ga teng bo‘lgan me’yoriy variatsiya kattaligidan katta. 
Bu holda mustaxkamlikning me’yoriy qiymati o‘rtachadan 1,07 marta kata bo‘lishi 
kerak (11.2 jadvalga qarang). 
Me’yoriy qiymatdan oshuvchi xisoblangan variatsiya koeffitsiyentini 
σ
x 
zavoda 
ishlab chiqarilgan buyumlarda betonning mustahkamlik xossalarining katta 
birjinslimasligi to‘g‘risida dalolat beradi. Bunday sharoitda yig‘ma temirbeton 
konstruksiyalarni tayrlovchi zavod buyumlarning betonini o‘rtacha mustahkamligini 
oshirishga majbur, bu esa sementning ortig‘cha sarflanishiga olib keladi. Demak, 
zavod ishlab chiqarish texnologiyasini shunday o‘zgartirishi kerak, buyumlarda 
betonning mustahkamlik xossalari yanada bir jinsli bo‘lishi, ya’ni variatsiya 
koeffitsiyenti me’yoridagi qiymatidan kam bo‘lsin. 

---

283 
11.4-jadval 
Beton 
ning 
mustah 
kamlik 
inter 
vallari 
chegara 
lari, MPa 
xi inter- 
valda 
mustax- 
kamlik- 
ning 
o‘rtacha 
qiyma-ti 
MPa 
m
i
inter 
valda 
mustax- 
kamlik 
qiymat- 
lari soni 
(empirik 
chastota) 
statik ehti- 
mol- 
lik P
i
h
c
х
E
i
−
=
m
i
YE
m
i
YE2
xi- xo 
σ
0
x
x
u
i
−
=
)
(
u
f
m
i
inter 
valda 
(nazariy 
chastota) 
mustax- 
kamlik 
qiymat- 
lari soni 
m
i
ning 
yaxlitlangan 
qiymati: 
12,1-14,0 
14,1-16,0 
16,1-18,0 
18,1-20,0 
20,1-22,0 
22,1-24,0 
24,1-26,0 
26,1-28,0 
28,1-30,0 
13 
15 
17 
19 
21 
23 
25 
27 
29 
3 
13 
30 
40 
41 
31 
16 
5 
1 
0,017 
0,072 
0,167 
0,222 
0,228 
0,172 
0,089 
0,028 
0,005 
-4 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
-12 
-39 
-60 
-40 
0 
31 
32 
15 
4 
48 
117 
120 
40 
0 
31 
64 
45 
16 
-7,2 
-5,2 
-3,2 
-1,2 
0,8 
2,8 
4,8 
6,8 
8,8 
-0,37 
-1,63 
-1,00 
-0,38 
0,25 
0,88 
1,50 
2,13 
2,75 
0,024 
0,106 
0,242 
0,371 
0,387 
0,271 
0,130 
0,41 
0,009 
2,7 
11,9 
27,2 
41,7 
43,5 
30,5 
14,6 
5,7 
1,0 
3 
12 
27 
42 
44 
30 
15 
6 
1 
- 
- 
Σ
m
i
= 180 
- 
- 
Σ
m
i
ε
= -
69 
Σ
m
i
ε
2
= 
481 
- 
- 
- 
- 
Σ
m
′
i
=180 

---

284 
11.4. Korrelyatsion tahlil. Eng kichik kvadratlar usuli 
Ko‘pchilik ilmiy va amaliy masalalarda o‘rganilayotgan tasodifiy kattalik Y 
ning bitta yoki nechta kattaliklarga bog‘liqligini aniqlash va baholash talab etiladi. 
Ikkita tasodifiy kattalik funksional bog‘liqlik bilan yoki statistik bog‘liqlik bilan 
bog‘langan bo‘lishi mumkin. Qat’iy funksional bog‘liqlik juda kamdan-kam amalga 
oshiriladi, chunki ikkala tasodifiy kattalik yoki ulardan biri tasodifiy omillarning 
ta’sirida bo‘ladi. 
Statistik 
bog‘liqlik deb shunday bog‘liqlikka aytiladiki, bunda kattaliklardan 
birini o‘zgarishi ikkinchisining taqsimlanishi o‘zgarishiga olib keladi. Xususan, 
statistik bog‘liqlardan biri o‘zgarganda ikkinchisining o‘rtacha qiymati o‘zgaradi; bu 
holda statistik bog‘liqlik 
korrelyatsion 
deyiladi. Korrelatsiya so‘zi latinchadan tarjima 
qilinganda munosabat, moslik, o‘zaro aloqa, o‘zaro bog‘lanuvchanlik ma’nolarini 
anglatadi. 
Y ning X dan 
korrelyatsion bog‘ligi 
bu shartli o‘rtacha Y
x 
ning 
x
ga 
bog‘liqligidir: 
Y
x
= 
f (x)
. (11.21)
11.12. tenglama Y ning X ga 
regressiya tenglamasi 
deyiladi, 
f
(x) funksiya Y 
ning X ga regressiyasi, uning grafigi esa Y ning X ga 
regressiya chizig‘i 
deyiladi. 
Matematik statistikada tasodifiy kattaliklar orasida o‘zaro aloqani o‘rnatish 
zarur bo‘lganda korrelyatsion tahlil o‘tkaziladi. Agar ikki kattalik o‘zaro bog‘langan 
bo‘lsa, u holda tahlilni 
juft korrelatsiya 
deyiladi; agar bir necha kattalik o‘zaro 
bog‘liq bo‘lsa, u xolda tahlilni 
ko‘pchilik (to‘plamli) korrelatsiya 
deyildi. 
Avval 
korrelatsiya maydoni
kuriladi. Buning uchun abssissalar o‘qiga x
i
argumentining qiymatlari qo‘yiladi, ordinatalar o‘qiga esa fsnksiyaning y
i
qiymatlari 
qo‘yiladi. Ular kesishgan joyda grafida nuqta qo‘yiladi. Korrelatsiya maydoni unda 
nuqtalarning joylashishiga qarab bog‘liqlikning turini – chiziqli yoki nochiziqliligini
anglatadi. Ikkita kattalik 
x
va 
y
orasidagi juft chiziqli korrelyatsida bu bog‘lanishni 
tavsiflovchi nazariy tenglama bunday ko‘rinishda bo‘ladi: 
u
∧
 = a + bx
i
 . 
Agar eksperimental kattaliklar 
y
i
ning xisobiy 
y
∧
chetlashishlar kvadratlari 
yig‘indisi minimal bo‘lgan holda bu tenglama eksperimental materialni yaxshi 

---

285 
tavsiflaydi. Eng kichik kvadratlar usuli prinsipi shundan iborat, ushbu tenglamaning 
xisobi shunga asoslangan:
Σ
(
y
i
 - y
∧
)
2
= 
Σ
(
y
i
– 
a – bx
i
)
2
= min. (11.22) 
a va b lar bo‘yicha yig‘indilar xususiy hosilasi topiladi va ular nolga 
tenglashtiriladi, yani 
0
=
да
д
;
0
=
дb
д
; 






=
−
−
=
=
−
−
=
∑
∑
,
0
)
(
2
;
0
)
(
2
i
i
i
i
i
x
bx
a
y
дb
д
bx
a
y
да
д
ya’ni, 



+
=
Σ
+
=
Σ
∑
∑
∑
.
;
2
i
i
i
i
i
i
x
b
x
a
y
x
x
b
na
y
(11.13) 
Tenglamalar sistemasini a va b ga nisbatan yechib, bu koeffitsiyentlar topiladi. 
Agar statistik material x va y bo‘yicha guruhlangan bo‘lsa, u holda (11.23) 
tenglamalar sistemasi quyidagi ko‘rishida yozilishi mumkin: 



+
=
Σ
+
Σ
=
Σ
∑
∑
∑
,
;
2
x
i
x
i
xy
i
i
x
i
x
i
i
n
x
b
n
x
a
n
x
y
n
x
b
n
a
n
y
(11.24) 
bu yerda:
;
n
n
x
=
Σ
;
nx
n
x
x
i
=
Σ
;
ny
n
y
y
i
=
Σ
n
n
x
x
x
i
Σ
=
;
n
n
y
y
y
i
Σ
=
 
Shunday ko‘rinishda tenglama jadval shaklida xisoblash uchun qulay. 
Korelyatsion aloqaning yaqinligi tug‘risida 
korrelatsiya koeffitsiyenti 
kattaligi 
bo‘yicha xukm yuritiladi, u quyidagi formulaga ko‘ra aniqlanadi: 
y
x
b
p
σ
σ
=
. 
Mustaqil tasodifiy kattaliklar uchun korrelatsiya koeffitsiyenti r=0, funksional 
bog‘liklar uchun esa r=1. 
Bog‘lik tasodifiy kattaliklar uchun r kattalik -1dan +1 gacha chegaralarda 
o‘zgaradi. Shuning uchun musbat va manfiy korrelatsiya atamalari qo‘llaniladi.

---

286 
Musbat korrelatsiya 
bir kattalik ortganda boshqasi ham ortishini anglatadi. 
Manfiy korrelatsiya 
bir kattalik ortganda ikkinchisi kamaymshini anglatadi. 
Xisoblashlar uchun ko‘pincha korrelatsiya koeffitsiyenti formulasining 
quyidagicha ko‘rinishidan foydalaniladi: 
2
2
2
2
)
(
)
(
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
n
x
x
n
y
x
y
x
n
Σ
−
Σ
Σ
−
Σ
Σ
Σ
−
Σ
=
ρ
. (11.25) 
Korrelatsiya koeffitsiyentining tug‘riligini me’yordagi taqsimlash shartidan 
yoki Styudent - Fisher taqsimotidan aniqlanadi: 
);
(
F
t
≥
ρ
σ
ρ
.
1
2
n
ρ
σ
ρ
−
=
Misol tariqasida betonni siqishdagi mustahkamligi Rsiq va bo‘ylama 
ultratovushli to‘lqinlari tezligi 
υ
orasidagi bog‘liqlikni ko‘rib chiqamiz. 187 ta beton 
namuna-kubcha sinalgan. Avval ularning har biri ultratovushli asbob yordamida 
sinaldi, ultratovush tezligi 
t
υ
(
y
i
) aniqlandi, keyin esa bir o‘qli yuklanish bilan 
siqilishdagi mustahkamlik chegarasi 
i
сик
R
(
xi
) aniqlanadi.
Hisoblash qulay bo‘lishi uchun eksperimental ma’lumotlarni shartli o‘rtacha 
intervalni
;
4100
=
υ
C
165
=
R
C
va intervallar 
50
;
200
=
∆
=
∆
R
υ
tanlab intervallar 
bo‘yicha guruhlaymiz. Yechimni shartli Rsiq va 
υ
kattaliklar uchun jadval shaklida 
o‘tkazamiz (11.5-jadval) 
(11.24) tenglamalar sistemasidan foydalanib, ushbu tenglamalar sistemasining 
koeffitsiyentlarini aniqlaymiz: 



+
=
+
=
,
358
42
187
;
42
187
45
b
a
b
a
bunda,
a 
= 0,148; 
b
= 0,59. 
u va 
x 
shartli kattaliklar uchun aloqa tenglamasi 
u
∧
= 0,148 + 0,59x. 
Natural ko‘rinishdagi aloqa tenglamasi 
R
C
R
b
a
C
R
сик
∆
−
+
=
∆
−
υ
υ
υ
Unga ma’lum va hisoblangan kattaliklarni qo‘ygandan so‘ng hosil qilamiz: 
50
/
)
165
(
59
,
0
148
,
0
200
/
)
4100
(
−
+
=
−
сик
R
υ
; 

---

287 
сик
R
36
,
2
3740
+
=
υ
;
83
,
1584
4237
,
0
−
=
υ
сик
R
. 
Korrelyatsion tarirovkali bog‘lanish 
υ
−
сик
R
11.5-rasmda ko‘rsatilgan.