Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti iqtisodiyot fakulteti moliya kafedrasi

Murakkab foizlar bо‘yicha о‘sib boruvchi qiymatni aniqlash
Murakkab foizlar bо‘yicha о‘sib boruvchi qiymatni aniqlash texnologiyasini quyidagi misollarda kо‘rib chiqamiz.
100 birlikka teng summa bankka 3 yil muddatga depozitga qо‘yilgan. Depozit stavkasi yillik 8%. Depozit bо‘yicha foiz bir yilda bir marta hisoblanadi. Muddat yakunidagi depozit miqdorini aniqlang.
Mazkur operatsiya shartlari bо‘yicha quyidagi kо‘rsatkichlar ma’lum:
Bankka qо‘yilgan dastlabki mablag‘ summasi PV = 100 birlik, yillik foiz stavka r = 8% va muddat n = 3 yil.
Birinchi yil oxiriga kelgusi qiymat FV ni aniqlaymiz:
FV₁ = PV + PV x r = PV (1 + r) = 100 x (1 + 0,08) = 108.
Mos ravishda, ikkinchi yil uchun FV miqdorini aniqlaymiz (n=2):
FV₂ = FV₁ + FV₁ x r= PV (1 + r) + PV (1 + r) x r = PV (1 + r)² = 100 x (1 + 0,08)² = 116,64 birlik.
Oxirgi yil uchun (n = 3)

FV₃ = FV₂ + FV₂ x r= PV (1 + r)³ = 100 x (1 + 0,08)³ = 125,97 birlik.
Rasmdan kо‘rinib turibdiki, murakkab foizlar bо‘yicha о‘sib boruvchi qiymatni aniqlash olinadigan daromadlarni reinvestitsiyalashga asoslanadi. Olinadigan daromadlarni reinvestitsiyalash jarayoni kapitalizatsiyalash deb yuritiladi.
Kelgusi qiymatni aniqlash uchun umumiy munosabat quyidagi kо‘rinishga ega:
FV_n = PV x (1 + r)ⁿ (4.16)
Qayd etib о‘tish lozimki, FV miqdori r va n kо‘rsatkichlarining belgilanishiga bevosita bog‘liq. Masalan, 1 birlik mablag‘ yillik 15%lik stavka bо‘yicha 100 yildan sо‘ng 1 174 313,45 birlikni tashkil etadi!
Amaliyotda moliyaviy bitimlar shartlariga bog‘liq ravishda foizlar bir yilda bir necha marta, masalan har oy, har chorakda ham hisoblanishi mumkin. Bunday holatda kelgusi qiymatni hisoblash quyidagi formula bо‘yicha amalga oshiriladi:

(4.17)
Bu yerda m – bir yil davomida foiz hisoblashlar soni.

Bо‘lishi mumkin bо‘lgan holat sifatida oldingi misol bо‘yicha foizlar har chorakda, ya’ni bir yilda 4 marta hisoblansa muddat oxiridagi FV ni aniqlaymiz:
FV_3,4 = 100 x (1 + 0,08/4)¹² = 126,82 birlik.
Yuqoridagi fomula (4.17)dan va olinadigan natijadan ham kо‘rinib turibdiki, foiz hisoblanadigan davrlar soni oshishi ortib borishi bilan FV_n,m ham о‘sib boradi.
Ba’zida foiz hisoblashning turlicha davrlarini kо‘rib chiqish orqali moliyaviy operatsiyalar shartlarini о‘zaro taqqoslash zarurati ham paydo bо‘ladi. Bunday holatda mos foiz stavkalarini ularning ekvivalentiga solishtirish amalga oshiriladi. Bu quyidagi formula bо‘yicha aniqlanadi:
EPR =(1 + r/m)^m – 1 (4.18)
Bu jarayonda olinadigan kо‘rsatkich samarali foiz stavkasi (effective percentage rate – EPR), yoki taqqoslash stavkasi deb ataladi. Mazkur kо‘rsatkich iqtisodiy adabiyotda APR (annual percentage rate) tushunchasi bilan ham qо‘llaniladi.
Misol kо‘rib chiqamiz.
10 000 birlik mablag‘ depozitga 4 yil muddatga murakkab foiz bо‘yicha yillik 10% lik stavka bilan joylashtirildi. Foiz har chorakda hisoblanishi belgilangan. Ikkinchi variantda esa 10 000 birlik mablag‘ investitsiyaga 4 yillik muddatga 10 foizlik stavka bilan joylashtirilgan. Bu operatsiya bо‘yicha foizlar yilda bir marta hisoblanadi. Operatsiyalardan qaysi biri samarali ekanligini aniqlang.
Har ikkala operatsiya bо‘yicha samarali stavkani aniqlaymiz:
1) har chorak bо‘yicha – EPR = (1+0,1/4)⁴ – 1 = 0,103813 birlik.
2) har yil bо‘yicha – EPR = (1+0,1)¹ – 1 = 0,10 birlik.
Shunday qilib, 10 000 birlik mablag‘ni joylashtirish shartlariga kо‘ra 4 yil muddatga har chorakda foiz hisoblanadigan yillik 10%lik stavka 10,3813% ga teng bо‘lgan holda ekvivalentli foiz stavkasi bо‘ladi. Bundan, birinchi operatsiya investor uchun yuqoriroq samara keltirishini kо‘rishimiz mumkin.
О‘z navbatida EPR miqdori ma’lum bо‘lsa, r nominal foiz stavkasi quyidagi formula bо‘yicha aniqlanadi:
(4.19)
Murakkab foizlar bо‘yicha diskontlash
Murakkab foizlar bо‘yicha joriy qiymatni aniqlash formulasi 4.16-formuladan keltirib chiqariladi. YA’ni matematik almashtirishdan foydalangan holda quyidagi formulani shakllantiramiz:
(4.20)
Misol kо‘rib chiqamiz.
3 yil bо‘yicha tо‘lanadigan depozit miqdori 100 birlikni tashkil etdi. Agarda depozit bо‘yicha yillik stavka 8% bо‘lsa, omonatning dastlabki summasini aniqlang.
Masalaning tahliliy echimi quyidagi kо‘rinishga ega bо‘ladi:
PV =100/(1 +0,08)³ = 79,38 birlik.
Murakkab foizlar bо‘yicha diskontlash jarayonini ham Mikrososft Exkel dasturidan foydalangan holda hisoblash mumkin.

PV miqdor ham operatsiyalar davomiyligi va foiz stavkalarga bevosita bog‘liq. YA’ni r va n kо‘rsatkichlar qanchalik yuqori bо‘lsa, joriy qiymat shunchalik past bо‘ladi.
Agar foiz hisoblash bir yilda m marta amalga oshiriladigan bо‘lsa bunda PV miqdor 20-formuladan kelib chiqqan holda quyidagicha aniqlanadi:
(4.21)


Foiz stavkasi va operatsiya davomiyligini hisoblash
4.16 va 4.20-formulalardan kelib chiqqan holda r va n kо‘rsatkichlarini aniqlash mumkin. FV, PV va n kо‘rsatkichlari ma’lum bо‘lgan holatlarda r foiz stavka quyidagi formula bо‘yicha aniqlanadi:
(4.22)
Masalan, bankka 4 yil oldin joylashtirilgan 10 000 birlikdagi summa bugunga kelib 14 641 birlikni tashkil etgan. Operatsiya bо‘yicha foiz stavkasi (daromadlilik)ni aniqlang.

r = (14 641/10 000)^1/4 – 1 = 0,10 (10%).
Operatsiya davomiyligi n logarifmlash orqali quyidagicha aniqlanadi:
(4.23)
Masalan, bankka yillik 10%lik stavka bilan 10 000 birlikdagi summa joylashtirilgan bо‘lib, bugunga kelib 14 641 birlikni tashkil etgan. Operatsiya muddatini aniqlang.
r = log(14 641/10 000) / log(1+0,1)= 4 yil.
Moliyaviy operatsiyalarda uzluksiz foizlardan qisqa oraliq vaqtlar uchun kо‘p marotaba foizlar hisoblanadigan holatlarda foydalaniladi. Bunda har kun, har soat, har minut va hattoki har bir sekund uchun yillik foiz stavkasi asosida foizlar hisoblash amaliyotini misol sifatida keltirish mumkin.