Qrin düsturu

Silindrik və sferik koordinatlarda 3-qat inteqral.

Dəyişənin əvəz edilməsi
İkiqat inteqralda olduğu kimi 3-qat inteqralda da düzbucaqlı koordinatlardan yeni koordinat sisteminə keçid üçün inteqral çevrilmələri düsturları var. Bunlardan ən çox işlədilən silindirik və sferik koordinatlardır.

Silindrik koordinat.

Bu koordinat sistemində fəzada verilmiş M nöqtəsinin vəziyyəti M-in XOY- müstəvisində proyeksiyası olan -in polyar və koordinatları və M-in özünün z opklikatı ilə təyin olunur.

və ( -istənilən həqiqi ədəddir) M nöqtəsinin silindirik koordinatları adlanır.Silindrik koordinatları düzbucaqlı koordinat sistemi ilə münasibətilə bağlıdır 3-qat inteqralın silindrik koordinatlarla çevrilməsi məsələsi eyni ilə 2-qat inteqraldan polyar koordinatlara çevrilməsi yolu ilə həll edilir. Düzbucaqlı koordinat sistemindən üçqat inteqralın silindrik koordinatlara çevrilməsi düsturu aşağıdakı kimidir.

(6)
3-qat inteqralın silindrik koordinatlara keçdikdə hesablanması -ə nəzərən 3 təkrar inteqralın hesablanmasına gətirilir.

Sferik koordinatlar
Bu halda M nöqtəsinin fəzada vəziyyəti onun 0 başlanğıcından r məsafəsi, OX oxunun müsbət istiqaməti ilə OM-in XOY müstəvisi üzərində proyeksiyası arasındakı bucağı və OZ oxunun müsbət istiqaməti ilə OM parçası arasındakı bucağı ilə təyin olunur. - ədədləri M nöqtəsinin sferik koordinatları və ya fəzada polyar koordinatları adlanır və sferik koordinatları düzbucaqlı koordinat sistemi ilə ilə bağlıdır.

Düzbucaqlı koordinat sistemində üçqat inteqralın sferik koordinatlara keçidi üçqat inteqralda piolyar koordinatlara keçidə analoji olaraq verilir.

(7)

(7) nin hesablanması da -ya görə üç təkrar inteqralın hesablanmasına gətirilir. Əgər (7)-də olarsa, onda (7)-yə görə

(8) cferik koordinatlarda cismin həcmi düsturunu alarıq. Burada -sferik koordinatlarda elementar həcm adlanır.

Misal. Radiusu R olan şarın həcmini tapın

(8)-ə görə