Qrin düsturu

Cismin statistik momenti .Ağırlıq mərkəzinin kordinatları və ətalət momentinin hesablanması

1. 
   və koordinat müstəvilərinə nəzərən cismin statistik momenti aşağıdakı formulalarla hesablanır.
   

(9)

2. 
   Cismin ağırlıq mərkəzinin koordinatları aşağıdakı formularla hesablanır.
   

(10)

3. 
   Cismin koordinat müstəvilərinə görə ətalət momenti aşağıdakı formylarla hesablanır.
   

(11)

4. 
   Koordinat oxlarına nəzərən ətalət momenti aşağıdakı düsturla hesablanır.
   

(12)

Koordinat başlanğıcına nəzərən ətalət momenti

- ilə hesablanır.

Bütün bu düsturlarda -sıxlıq. - elementar həcmdir. Cisim bircinsli olduqda ,bu formuları tətbiq etdikdə əlverişlidir.

Misal. . I rübdə yerləşən ellipsin ( sıxlığın hər yerdə bərabər olduğun fərz edərək) ağırlıq mərkəzinin koordinatını tapın.


Ədədi sıralar.Yığılan sıralar.Jığılma üçün zəruri şərt.

Müsbət hədli sıraların müqayisəsi.
Tərif1. Fərz edək ki, ədədi ardıcıllığı verilib. (1) ifadəsi ədədi sıra adlanır. (1) əvəzinə qısaca yazılır.

Tərif2. sıranın ilk sonlu n həddinin cəmi sıranın n-ci xüsusi cəmi adlanır.



Tərif 3 (2) ardıcıllığına baxaq. Əgər sonlu limiti varsa, onda onu (1) sırasının cəmi adlandırın və deyirlər ki, sıra yığılır.

Əgər (2) ardıcıllığının limiti yoxdursa , onda deyirlər ki, (1) sırası dağılır.

Misal. (3) sırası verilib.

Bu birrinci həddi və silsilə vuruğu q olan həndəsi silsilədir. İlk n həddinin cəmi

və ya

1). Əgər onda , nəticədə

olar.

Deməli sıra yığılır və olur.

2) , , , onda , , yəni -yoxdur. dağılır.

3). sırası olar. Bu halda sıra dağılır

4) olar.

-in limiti yoxdur.sıra dağılır.


Sıraların əsas xassələri
Teorem 1. Əgər (1) sırasından sonlu sayda həddi atmaqla düzəldilmiş sıra yığılırsa, onda sıra özü də yığılır və tərsinə .Sıra yığılırsa, onda sonlu sayda həddi atmaqla düzələn sıra da yığılar.

Teorem 2 Əgər (3) sırası yığılarsa və cəmi S isə , onda (4) –də yığılar və cəmi cs olar. ( qeyd olunmuş ədəddir).

İsbatı : (3) –ün xüsusi cəmi (4)-ün isə olsa

olar.

Deməli (4) yığılır və cəmi cs-dir

Teorem 3 Əgər (3) və (5) sıraları yığılarsa və cəmləri uyğun olaraq və olarsa onda (6)

və (7)

sıraları da yığılır və uyğun olaraq cəmləri və olar.İsbatı uyğun xüsusi cəmləri yazıb -ə keçməklə alınır (müstəqil isbat etməli)
Sıranın yığılması üçün zəruri şərt
Sıralar nəzəriyyəsində əsas məsələlərdən biri sıranın yığılan və yaxud dağılan olduğunu göstərməkdir.indi biz sıraların yığılıb və ya dağılmasını göstərən zəruri şərtləri verək

Teorem4 (Sıranın yığılması üçün zəruri şərt)

Əgər (1) sırası yığılırsa, onda onun n-ci həddi ( olduqda ) sıfra yaxınlaşır.

olar.

İsbatı. Fərz edək ki, (1) sırası yığılır. Yəni

S- sıranın cəmidir. Aydındır ki, və .Birinci bərabərlikdən ikincini hədbəhəd çıxsaq, alarıq. və ya olduğu üçün olar.

Nəticə: Əgər sıranın n –ci həddi olduqda sıfra yaxınlaşnırsa, onda sıra dağılır.

Misal: dağılır.

olduğu üçün.

Qeyd edək ki, baxdığımız əlamət yalnız zəruridir, kafi deyil. Jəni n-ci həddin sıfra yaxınlaşmasından hələ çıxmır ki, sıra mütləq yığılmalıdır. Sıra dağıla da bilər.

Məsələn, Harmonik sıra adlandırılan

(8) dağılır, baxmayaraq ki,

İsbatı. Əksinə fərz edək ki, (8) yığılır və cəmi S-dir. Onda

göstərdik ki, harmonik sıra dağılır.

Müsbət hədli sıraların müqayisəsi
Tərif Hədləri mənfi olmayan sıra müsbət hədli sıra adlanır.Fərz edək ki, müsbət hədli (1) sırası verilib.

Yəni Onda aydındır ki, Yəni azalmayan adlanır.

Teorem 1 (1) müsbət hədli sıranın yığılması üçün zəruri və kafi şərt bu sıranın xüsusi cəmlər ardıcıllığının yuxarıdan məhdud olmasıdır.

Fərz edək ki, (1)

(2) müsbət hədli sıralardır.Aşağıdakı müqayisə törəmələri doğrudur.

Teorem 2 (1)-in hədləri (2)-nin uyğun hədlərindən böyük deyilsə , (3) və (2) yığılırsa , onda (1) sırası da yığılır.

İsbatı (1) və (2) üçün xüsusi cəmlər götürməklə və (3) ü nəzərə almaqla edilir.

Misal. yığılır. yığıldığına görə

Teorem3 Əgər (1) sırasının hədləri (2) –nin uyğun hədlərindən kiçik deyilsə və (4) isə onda (2) dağılırsa (1) də dağılır.

Misal. dağılır.

Ona görə ki, dağılır.

Yiğılma üçün Dalamber, Koşi, İnteqral əlamətləri,İşarəsi növbələşən sıralar.

Leybnis teoremi. İşarəsi dəyişən sıralar.Mütləq və şərti yığılma.
Teorem(Dalamber əlaməti) (1) müsbət hədli sıranın (n+1)-ci həddinin n-ci həddinə nisbətinin sonlu limiti varsa,

onda

1) olduqda sıra yığılır.

2) olduqda sıra dağılır.

( olarsa, sıra yığılada bilər, dağıla da bilər)

Qeyd 1. olarsa, sıra dağılır. Bu oradan alınır ki, olarsa var ki,

Misal 1. yığılmanı tədqiq edək

Həlli. ,

Nəticədə

sıra yığılır.

Misal 2.

Həlli. sıra dağılır

Qeyd 2 Dalamber əlaməti müsbət hədli sıranın yığılmasına yalnız o vaxt müsbət cavab verə bilər ki, olsun . olduqda yaxud bu limit olmazsa başqa əlamətdən istifadə etmək lazımdır. Əgər olarsa, amma üçün üçün olduqda sıra dağılır.

Bu olar. Onda olmaz.

(Ümumi hədd sıfra yaxınlaşmır )

Misal 3.

Həlli:

üçün olar.Sıra dağılır.

Misal 4.

Dalamberə görə bir söz demək olmur. Ancaq bilir ki, bu sıra dağılır.

Misal 5.

Həlli: ,

. Dalamberə görə bir söz demək olmaz. Amma bu sıra yığılır və cəmi 1-ə bərabərdir.

sıra yiğılır onun cəmi 1-ə bərabərdir.

Koşi əlaməti Əgər (1) müsbət hədli sıranın -həddi üçün

sonlu limiti varsa, onda

1) olduqda sıra yığılır.

2) olduqda sıra dağılır

Misal 1.

deməli sıra yığılır.

Qeyd. olduqda sıra yığıla da bilər dağıla da

Məsələ. 1. Harmonik (dağılır) sıralar üçün olduğunu isbat edək.

(Lopital)

yəni

2. sırası üçün

Bu sıra yığılır

Birinci həddi ataq və yığılan sıra ilə müqayisə etsək alarıq.

Sıraların yığılması üçün inteqral əlaməti

Teorem. Fərz edək ki, (1) sırası müsbət və artmayandır. (monoton azalır)

Fərz edək ki, -kəsilməz artmayan funksiyadır, belə ki, (2)

Onda aşağıdakı təklif doğrudur.

1) qeyri-məxsusi inteqralı yığılarsa, onda (1) sırasıda yığılır.

2) Əgər göstərilən inteqral dağılırsa, onda (1) sırası da dağılır.

Misal. yığılmanı öyrənək.

götürək və inteqral əlamətini tətbiq edək. Bu funksiya teoremin bütün şərtlərini ödəyir.



olduqda qeyri-məxsusi inteqralın p-nin müxtəlif qiymətlərində yığılmasını öyrənək.

, inteqral sonludur, sıra yığılır.

, sıra dağılır.

, sıra dağılır. Qeyd edək ki, əvvəlki əlamətlər bu sıranın yığılmasını həll etmirdi.


İşarəsi növbələşən sıralar. Leybnis teoremi

Şəklində olan sıra işarəsini növbə ilə dəyişən sıra adlanır.

Teorem (Leybnis) (1) işarəsini növbə ilə dəyişən sırası verilib və hədləri aşağıdakı şərtləri ödəyir.

(2) və (3). Onda (1) sırası yığılır. Cəmi müsbətdir və birinci həddi aşmır.

İsbatı. (1)-in ilk n=2m həddinin cəminə baxaq.

(2) şərtinə görə mötərizələrdəki ifadələrin hamısı müsbətdir.

Yəni və m-in atrması ilə artır. Bu cəmi indi belə yazaq.

(2) şərtinə görə mötərizədəki ifadələrin hamısı müsbətdir. Ona görədə olar. Beləliklə biz isbat etdik ki, -in limiti var və

İsbat etdik ki, cüt xüsusi cəmlər ardıcıllığının limiti var və S-ə bərabərdir. Tək xüsusi cəmlər ardıcıllığının limitinin də S olduğunu göstərsək, teorem tamamilə isbat olunar. (1)-də ilk n=2m+1 həddi götürək. Onda olar. (3) şərtinə görə Nəticədə olar.

Deməli (1) yığılır. Teorem isbat olundu.

Qeyd. (2) hər hansı N-dən başlayaraq ödənildikdə də Leybnis teoremi doğrudur.

Misal 1. Leybnisə ğörə yığılır.

1) və 2) Leybnis teoreminin şərtləri ödənilir.

Misal 2. Leybnisə görə yığılır.

İşarəsini dəyişən sıralar. Mütləq və şərti yığılma
Hədləri mənfi və həmdə müsbət olan sıra işarəsini dəyişsən sıra adlanır.İşarəsini növbə ilə dəyişən sıra işarəsini dəyişən sıranın xüsusi haldır. -lər həm müsbət həm də mənfi ola bilər.İşarəsini dəyişən sıraların yığılması üçün çox mühüm kafi şərti verək.

Teorem1 İşarəsiini dəyişən (1) sırasının hədlərinin mütləq qiymətlərindən düzəldilmiş (2) sırası yığılırsa, onda verilmiş (1) sırası da yığılır.

İsbatı : və (1) və (2) sıraları üçn ilk n həddin cəmi olsun. -bütün müsbət , -isə mənfi hədlərin mütləq qiymətlərindən düzəldilmiş sıranın ilk n həddinin cəmi olsun. Onda = - , +

Şərtə görə in limiti -dır. və -isə -dan kiçik müsbət artandır. Deməli onların və limitləri var = - münasibətlərindən alınır ki, -in limiti var və - -ə bərabərdir.Yəni (1) işarəsini dəyişən sırası yığılır. İsbat olundu. İsbat olunan teorem imkan verir ki, işarəsini dəyişən sıraların yığılmasını müsbət hədli sıraların yığılması ilə öyrənək.

Misal. (3) ədəddir.

Yığılmanı öyrənək (4)

sırasına baxaq. (5) – yığılır.

(4)-ün hədləri (5) -in uyğun hədlərindən böyük deyil. Deməli (4) də yığılır.. onda isbat olunan teoremə görə (3) –də yığılır. Qeyd edək ki, isbat olunan yığılma əlaməti kafidir. Zəruri deyil.Elə sıra var ki, özü yığılır, ancaq mütləq qiymətlərindən düzəldilmiş sıra dağılır. Ona görə də işarəsini dəyişən sıralarda mütləq və şərti yığılma anlayışları verilir.

Tərif. İşarəsi dəyişən (1) sıranın mütləq qiymətlərindən düzəldilmiş

(2) sırası yığılırsa , onda (1) mütləq yığılan sıra adlanır. Əgər (1) yığılırsa (2) isə dağılırsa, onda (1) işarəsini dəyişən sıra şərti yığılan sıra adlanır.

Misal şərti yığılır. Leybnis əlamətinə görə sıra yığıəlır. Ancaq mütləq qiymətlərində düzəldilmiş harmonik sıra isə dağılır.

Misal mütləq yığılır. Leybnisə görə sıra yığılır. yığılır.

Sonda mütləq və şərti yığılan sıraların (isbatsız) aşağıdakı xassələrini verək.

Teorem 2 Əgər sıra mütləq yığılırsa, onda onun hədlərinin istənilən qayda ilə yerdəyişməsindən alınan sıra da mütləq yığılar.Bu zaman sıranın cəmi onun hədlərinin yerləşməsi ardıcıllığından asılı deyil.

Teorem3 Sıra şərti yığılırsa, onda əvvəlcədən verilmiş ixtiyari A ədədi üçün sıranın hədlərinin yerini elə dəyişmək olar ki, cəm dəqiqliklə A-ya bərabər olsun. Bundan əlavə şərti yiğılan sıranın hədlərinin yerini elə dəyişmək olar ki, alınan sıra dağılsın.