Qrin düsturu

Üçqat inteqral. Üçqat inteqralın hesablanması.

Dəyişənin əvəz olunması
Fərz edək ki, fəzada qapalı S səthi ilə məhdud olan V oblastı verilib.Fərz edək ki, V oblastında və onun sərhəddində kəsilməz funksiyası təyin olunub oblastın düzbucaqlı kordinatlarıdır. V-ni ixtiyari qayda ilə -lərə bölək. -ləri həcmlə işarə edək -lərdə -nöqtələri götürək. -ilə -in bu nöqtədə qiymətini işarə edək.

(1)

İnteqral cəmini düzəldək kiçik oblastlarının sayını qeyri-məhdud artiraraq .Əgər kəsilməzdirsə , onda (1) inteqral cəminin limiti var və bu limit V oblastının bölünmə qaydasından və -lərin seçilməsindən asılı deyil. Bu limit simvolu ilə işarə edilir və üçqat inteqral adlanır. Beləliklə tərəfə görə və ya

(2)

Hesablanması:

Üçqat inteqralın hesablanması ikiqatda olduğu kimi təkrar inteqralların hesablanmasına gətirilir.Fərz edək ki, V oblastı yuxarıdan , aşağıdan səthi ilə məhduddur.Yanlardan isə doğuranları öz oxuna paralel olan silindirik səthlə məhdudur. Oda ikiqat inteqrala analoji olaraq

(3)

Doğrudur..Burada S müstəvi oblastı V oblastının Oxy koordinat müstəvisinə proyeksiyasıdır. Daxili inteqralda x,y –sabit götürülür. Daxili inteqral hesablandıqdan sonra -dəyişənlərindən asılı ifadə qalır.

Əgər S proyeksiyası Oy oxuna nəzərən düzgün olarsa və

Burada parçasında kəsilməz birqiymətli funksiyalardır. Onda

(4)

(3) və (4) –dən son nəticəni alırıq.

(5)

Beləliklə üçqat inteqralın hesablanması üç təkrar inteqralın hesablanmasına gətirilir. Qeyd edək ki, V inteqrallama oblastı Ox, Oy, Oz oxlarının hər üçünə nəzərən düzgün olarsa, onda (5) intervalını 6 müxtəlif yerdəyişmə ilə hesablamaq olar.

Misal V – inteqrallama oblastı müstəviləri ilə məhduddur.Əgər z-ə görə inteqrallama -ə aparılır.Ona görə V –nin XOY-də proyeksiyasını S-lə işarə edsək,

S-in -lə məhdud olan üçbucaq olduğunu nəzərə alsaq, alarıq.

İkiqat inteqralda verdiyimiz xassələr üçqat üçün də doğrudur.