Qrin düsturu

Dəyişənin əvəz edilməsi.
Fərz edək ki, funksiyaları dekart koordinat sistemində V oblastını birqiymətli əyrixətli koordinat sistemində oblastına inikas edir. Onda

(9)

Doğrudur. Burada J-yakobianı

Slindrik koordinatlarda

olar. Sferik koordinatlarla isə

olar
Səth inteqralı və onun hesablanması.Stoks və Ostroqradski düsturları.
1.növ səth inteqralı:

Fərz edək ki, hər hansı səthində kəsilməz funksiyası verilib. səthini istənilən qayda ilə çəkilən əyrilərlə hissələrinə bölək. Bu hissələrin hər birində ixtiyari bir nöqtə götürək, bu nöqtədə funksiyanın qiymətini hesablayaq və uyğun səth hissəsinin sahəsinə vuraq. Bu hissələrin hamsını toplayaraq

(1) inteqral cəmini alarıq.

-lə elementar səthinin diametrini işarə edək d-verilən diametrlərdən ən böyüyüdür.

-səthi üzrə funksiyasının I növ səth inteqralı (1) inteqral cəminin olduqda -ən böyüyünün diametridir) limitinə deyilir.



(2)

I növ səth inteqralı I növ əyrixətli inteqralın analoji xassələrinə malikdir.

Əgər və funksiya səthinin material kütləsinin sıxlığı kimi baxsaq , onda (2) inteqralı bu səthin kütləsini təyin edər.

Səthin tənliyi -lə verilərsə , onda (2) inteqralı

(3)

Formulu ilə hesablanar.Əgər -hissə-hissə hamar ikiüzlü səth isə

funksiyası isə -da təyin olunub kəsilmət funksiya isə, onda

(4) burada

; ; (5)

(3) formulu (4)-ün olduqda xüsusi haldır.

II növ səth inteqralı

Fərz edək ki, ikiüzlü səthində kəsilməz funksiyası verilib. Səthin müəyyən üzünü seçək. -səthini ixtiyari əyrilər keçirməklə hissələrinə bölək. Hər bir hissəsində ixtiyari nöqtəsini götürək. Bu nöqtədə funksiyanın qiymətini hesablayaq qiymətini -hissəsinin OXY müstəvisi üzərindəki -proyeksiyasına vuraq. Bu zaman ədədi müəyyən işarə ilə təyin olunur nöqtəsində normql Oz oxu ilə iti bucaq əmələ gətirirsə, -nin üzündəki proyeksiyası “+”, kor bucaq gətirirsə, -nin işarəsi “-“ , götürülür. Bu hasillərin hamısını cəmləsək.

(6)

funksiyasının II növ -səthi üzrə inteqralı elementar oblastların d-diametrlərinin ən böyüyünün sıfra getdikdə (6) –nın limitinə deyilir.

(7)
, inteqrallarıda analoji tərif edilir.

Burada səth elementin proyeksiyasının işarəsi olaraq normal ilə uyğun tərəfdə seçilmiş Oy və ya Ox oxları arasındakı bucaq başa düşülür.Ümumi şəkildə II növ səth inteqralı

Burada -dən asılı ikiüzlü səthinin nöqtələrində təyin olunmuş kəsilməz funksiyalardır.

II növ səth inteqralı I növün bütün xassələrini ödəyir.Yalnız birindən başqa. Səthin üzlərini dəyişdikdə (7) işarəsini dəyişir. I və II növ səth inteqralları aşağıdakı funksiyalarla əlaqəlidir.

Burada -II növ inteqralın səthi verilmiş istiqamətdə yönəldici kosinusları adlanır.II növ inteqral belə hesablanır. Əgər səthi birqiymətli olaraq Oxy müstəvisində oblastına proyeksiya olunursa, -isə onun tənliyidirsə, onda

(8)

“+” işarəsi olduqda ,”-“ isə olduqda götürülür. Analoji olaraq birqiymətli olaraq Oxz (və ya Oyz) müstəvilərində (və ya ) oblastlarına proyeksiya olunursa,

Yəni : və ya tənlikləri ilə verilərsə, onda

(9)
(10)

(9)-da -nın , 10-da isə -nın işarəsi götürülür.

Stoks formulu.Ostroqradski formulu

Əgər funksiyaları kəsilməz diferensiallanandırsa, L-isə hissə-hissə hamar olan sonlu ikiüzlü səthini məhdudlaşdıran hissə-hissə hamar qapalı kontur isə onda aşağıdakı Stoks formulu doğrudur.

(11)

səthinin istiqamətləndirici kosinuslarıdır. İstiqamət saat əqrəbinin əksinədir.(sol koordinat sistemi) Stoks düsturu aşağıdakı şəkildə yazıla bilər.

(11)-də z=0 götürsək Qrin formulu alınar.Qrin Stoksun xüsusi halıdır.

Əgər -(V həcmini məhdudlaşdıran) hissə-hissə hamar səth, funksiyaları isə oblastında birinci tərtib xüsusi törəmələri ilə birlikdə kəsilməz funksiyalardırlarsa, onda aşağıdakı Ostraqradski formulu doğrudur.

(12)

- istiqamətverici kosinuslardır.

Çoxqat inteqralların mexanika və fizika məsələlərinə tətbiqi.

2-qat inteqralın tətbiqləri.

1. 
   Müstəvi fiqurun sahəsinin statistik momenti.
   

Müstəvi fiqurun Ox və Oy koordinat oxlarına nəzərən və statistik momentləri 2-qat inteqralların köməyilə aşağıdakı düsturlarla hesablanır.

; (1)

Burada -kütlənin paylanma sıxlığıdır. Əgər cisim bircins olarsa, onda olar. götürsək bu halda

; (2) olar

Əgər hesablama polyar koordinatda aparılarsa, onda elementar sahə -ilə əvəz olunmalıdır. Onda (2)

; (3) şəklində yazılar.

2. 
   Müstəvi fiqurun ağırlıq mərkəzinin koordinatları aşağıdakı düsturlarla hesablanır.
   

; (4)

və -ağırlıq mərkəzinin apsis və ordinatlarıdır.

Əgər fiqur bircins olarsa bu kəmiyyət surət və məxrəcdə inteqral işarəsindən kənara çıxarılır və ixtisar olunur. Onda (4) belə yazılır.

; (5)

Müstəvi fiqurun sahəsinin ətalət momenti oxlara nəzərən aşağıdakı düsturlarla hesablanır

; (6)

Əgər fiqur bircins isə onda sıxlıq olar götürsək onda

; (7) olar.

Nəticədə koordinat başlanğıcına görə momenti

(8) olar.

Misal . I rübdə yerləşən ellipsi və koordinat oxları ilə məhdud olan bircins fiqurun və statistik momenti təyin edin

H əlli:

İnteqrallama oblastında x və y dəyişənləri olduğu üçün (2)-yə görə

.Daxili inteqralı hesablayaq.

. Onda



olar.

Üçqat inteqralın tətbiqləri