Qrin düsturu

Qüvvət sıraları.Yığılma intervalı (oblastı)
Tərif (1) şəklində funksional sıra qüvvət sırası adlanır. Burada sabit həqiqi ədədləri qüvvət sırasının əmsalları adlanır. (1) qüvvət sırasının istənilən qüvvəti olduqda yığılır. Bu nöqtədə (1)-in birincidən başqa bütün hədləri sıfırdır. Əgər (1) qüvvət sırası yalnız –da yığılırsa, belə sıralar I sinif sıralara aid edilir

Məs. .(2) sırası yalnız olduqda yığılır. İstənilən nöqtəsində bu sıra dağılır. Yığılmanı öyrənək.

(3) düzəldək.Axırıncıya Dalamberi tətbiq edək.



üçün (3) dağılır (2) dağılır. üçün Əgər (1) qüvvət sırası bütün ədəd oxunda yığılırsa, belə sıralar II sinfə aid edilir.

Məs. yığılır. (və mütləq) bütün ədəd oxunda

1. 
   şəklində olan sıra ,I və II sinfə aid olmayandırsa onu III sinfə aid edirlər.
   

Qüvvət sıraları nəzəriyyəsində çox mühüm rol oynayan aşağıdakı (Abel) teoremini isbat edək.

Teorem 1 (Abel) Əgər olduqda (1) qüvvət sırası yığılırsa, onda şərtini ödəyən üçün (1) sırası mütləq yığılar. Əgər olduqda (1) qüvvət sırası dağılırsa, onda şərtini ödəyən üçün (1) dağılır.

İsbatı : Fərz edək ki, olduqda (1) qüvvət sırası yığılır, yəni (4) qüvvət sırası yığılır.Onda olmalıdır. Buradan alınır ki, (4) hədləri məhduddur.

(5) (M-müsbət sabitdir) şərtini ödəyən götürək və belə sıraya baxaq.

(6)

Eynilik olduğundan və (5)-ə görə və ya (7) burada olduğu üçün

sırası yığılır.

Ona görə (7)-ni nəzərə alsaq sıraların müqayisə əlamətinə görə (6) yığılır. şərtini ödəyən üçün, deməli (1) mütləq yığılır.

Fərz edək ki, (1) olduqda dağılır. İsbat edək ki, şərtini ödəyən üçün dağılır. Doğurdan da hər hansı şərtini ödəyən üçün (1) yığılırsa onda isbatın birinci hissəsində olduğu kumi olduqda o yığılandı, bu isə şərtə ziddir.isbat oldu.

Nəticə 1: II sinif (1) sırası intervalında mütləq yığılır.

Nəticə 2: III sinif hər bir (1) qüvvət sırası üçün yığılma radiusu adlanan ədədi var ki, aşağıdakı şərtləri ödəyir.

(1) mütləq yığılır.

(1) dağılır.

aralığı (1) qüvvət sırası üçün yığılma intervalı adlanır. Nəticə 1-ə görə II sinif (1) sırası üçün yığılma intervalı olar. III sinif (1) qüvvət sırasının yığılma oblastı intervalıdır. Xüsusi hallarda (konkret sıralardan asılı olaraq) bir və ya hər iki ucuna (intervalın) əlavə olunur.

Qeyd1. I sinif (1) sıraları üçün R=0, II sinif (1) sıraları üçün götürülür.

Teorem 2 Fərz edək ki, (1) sırası üçün sıfırdan fərqli limit var
olar.

İsbatı (1)-in mütləq qiymətlərindən düzəlmiş

(8) sırasına baxaq və Dalamber əlamətini tətbiq edək.



olarsa , yəni olduqda (8) –yığılır. olduqda dağılır. Deməli (1) sırası olduqda mütləq yığılır. olarsa dağılır.

Deməli (1)-in yığılma radiusu olar.

Misal. , yığılma radiusu olar. Yığılma oblastı isə olar.

Misal. , yığılma oblastı (-1;1)

x=1 olarsa harmonik sıra dağılır.

x=-1 olarsa Leybnisə görə şərt yığılır. yığılma oblastı olar.