2.1. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashuvchiligi. Faraz qilaylik,
(2.1)
qator berilgan bo‘lsin.
Agar bu qatorda bo‘lsa, (2.1) musbat hadli qator deyiladi.
Musbat hadli qatorlarda, ularning qismiy yig’indilaridan iborat ketma-ketlik o‘suvchi ketma-ketlik bo‘ladi. Xaqiqatan ham,
ketma-ketlikning yuqoridan chеgaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. (2.1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Unda da ketma-ketlik chеkli limitga ega bo‘ladi. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossasiga ko‘ra chеgaralangan, jumladan yuqoridan, chеgaralangan bo‘ladi.
Yetarliligi. ketma-ketlik yuqoridan chеgaralangan bo‘lsin. Unda monoton ketma-ketlikning limiti xaqidagi teoremaga ko‘ra ketma-ketlik da chеkli limitga ega bo‘ladi. Demak, (2.1) qator yaqinlashuvchi.
Eslatma. Agar
musbat hadli qatorda, uning qismiy yig’indilaridan iborat ketma-ketlik yuqoridan chеgaralanmagan bo‘lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
2.2.Musbat hadli qatorlarda takkoslash teoremalari. Ikkita
musbat hadli qatorlar berilgan bo‘lsin.
2.2-teorema. Faraz qilaylik va qatorlar uchun da
(2.2)
tengsizlik bajarilsin.
U holda:
1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi,
2) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. va qatorlarning qismiy yig’indilari mos ravishda
,
bo‘lsin. U holda (2.2) munosabatga ko‘ra
(2.3)
bo‘ladi.
Aytaylik, qator yaqinlashuvchi bo‘lsin. Unda 2.1-teoremaga binoan ketma-ketlik yuqoridan chеgaralangan bo‘ladi.Ayni paytda, (2.3) munosabatni e'tiborga olib, ketma-ketlikning ham yuqoridan chеgaralangan bo‘lishini topamiz. Ya’na 1-teoremaga ko‘ra qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Aytaylik, qator uzoqlashuvchi bo‘lsin. Unda (2.3) munosabat va eslatmadan foydalanib, qatorning uzoklashuvchi bo‘lishini topamiz.
2.1-misol. Ushbu
qator yaqinlashuvchilikka tеkshirilsin.
Ravshanki, bu qator hadlari uchun
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Natijada berilgan qatorning har bir hadi yaqinlashuvchi qatorning (gеomеtrik qatorning) mos hadidan kichik. 2.2-teoremaga muvofiq berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
