3.4. Raabe alomati. Agar musbat hadli
(3.1)
qatorda ning biror qiymatidan boshlab, uchun
bo‘lsa, (3.1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi,
bo‘lsa, (3.1) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, (3.1) qator hadlari uchun
bo‘lsin. Bu tengsizlikdan
(3.8)
bo‘lishi kеlib chiqadi.
Endi tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini olib, uni
kabi ifodalaymiz. Limit xossasiga ko‘ra, shunday topiladiki, barcha lar uchun
,
ya'ni
(3.9)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
(3.8) va (3.9) munosabatlardan barcha lar uchun
bo‘lishi kеlib chiqiadi.
Bu tengsizlikni va bo‘lganda qatorning yaqinlashuvchiligini e'tiborga olib, so‘ng quyidagi teoremadan foydalanib,
Aytaylik, musbat hadli va qatorlar uchun
bo‘lsin
U holda:
1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi,
2) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi,
berilgan qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishini topamiz.
Endi (3.1) qatorning hadlari uchun bo‘lganda
bo‘lsin. Bu tengsizlikni quyidagicha:
yozish mumkin.
Bu tengsizlikni va katroning uzoqlashuvchiligini e'tiborga olib, yana o‘sha teoremadan foydalanib, berilgan qatorning uzoqlashuvchi bo‘lishini topamiz.
Ko‘p xollarda Raabе alomatining quyidagi limit ko‘rinishidan foydalaniladi:
Faraz qilaylik, musbat xadli (3.1) qator hadlari uchun
mavjud bo‘lsin. U holda:
1) bo‘lganda (3.1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi,
2) bo‘lganda (3.1) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
3.4-misol. Ushbu
qator yaqinlashuvchilikka tеkshirilsin.
Bu qator uchun
bo‘lib,
bo‘ladi.
Agar , ya’ni bo‘lsa, berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Agar , ya’ni bo‘lsa, berilgan qator uzoqlashuvchi bo‘ladi
Agar bo‘lsa, Раабе alomati berilgan qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligi xaqida xulosa qilolmaydi.
Dostları ilə paylaş: |
