bo‘lsin. U holda
1) bo‘lib, qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2) bo‘lib, qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot.Aytaylik, bo‘lib, qator yaqinlashuvchi bo‘lsin.
Ravshanki,
:
bundan esa, qator yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun 2-teoremaga ko‘ra qatorning yaqinlashuvchiligi kеlib chiqishini topmaiz.
Aytaylik, bo‘lib, qator uzoqlashuvchi bo‘lsin.
Ravshanki, va bo‘lishidan uchun ya'ni bo‘lishi kеlib chiqiadi. 2-teoremadan foydalanib qatorning uzoqlashuvchi bo‘lishini topamiz.
Natija. Musbat hadli va qatorlar uchun
bo‘lsa, u holda va qatorlar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi bo‘ladi yoki uzoqlashuvchi bo‘ladi.
2.2-misol. Ushbu
qator yaqinlashuvchilikka tеkshirilsin.
Berilgan qator bilan birga uzoqlashuvchiligi ma'lum bulgan garmonik qatorni karaymiz. Bu qatorlarnig umumiy hadlari uchun
bo‘ladi. Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.
2.4-teorema. Aytaylik, musbat hadli va qatorlar uchun
bo‘lsin
U holda:
1) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi,
2) qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, qatorlar uchun
tengsizliklar bajarilsin. Bu shartdan quyidagi munosabat kеlib chiqiadi:
.
Kеyingi tengsizlikdan topamiz:
Aytaylik, qator yaqinlashuvchi bo‘lsin.Ravshanki, qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. 2-teoremadan foydalanib, qatorning yaqinlashuvchi bo‘lishini topamiz. Xuddi shunga o‘xshash qatorning uzoqlashuvchi bo‘lishidan qatorning uzoqlashuvchi bo‘lishi kеlib chiqishi ko‘rsatiladi.
Yuqorida kеltirilgan teorema va misollardan ko‘rinadiki, musbat hadli qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligini bilgan holda, hadlari bu qator hadlari bilan ma'lum munosabatda bo‘lgan (taqqoslangan) ikkinchi musbat hadli qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligini aniqlash mumkin bo‘lar ekan.
Izox. Yuqorida kеltirilgan teoremalar ning biror qiymatidan boshlab bajarilganda ham o‘rinli bo‘ladi.
