Kummer alomati. (3.10)
Ihtiyoriy musbat hadli ketma ketlik berilgan bo’lsin va u shartni qanotlantirsin
(3.10) qator hadlaridan tuzilgan hadni qaraymiz.
Agar larda tengsizlik bajarilsa (bunda o’zgarmas musbat son) (3.10) qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Agar bo’lsa qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot. bo’lsin. Bu tengsizlikni ga ko’paytirib (1) bundan yoki bundan ketma ketlikning manoton kamayuvchi bo’lgani uchun manoton ketma ketlik yaqinlashishi haqidagi teoremaga ko’ra ketma ketlik chekli limitga ega:
Endi qatorni qaraymiz. Bu qatorening qismiy yig’indisi ketma ketlikning yaqinlashuvchi ekanligidan chekli limitga ega.
Demak ekan bundan taqqoslash alomatiga ko’ra qator ning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
Endi bo’lsin. Bundan tengsizlikka ega bo’lamiz.
qatorning uzoqlashuvchi ekanidan taqqoslash haqidagi teoremaga ko’ra qatorning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
Kummer alomatining limitik ko’rinishi. bvo’lsin. Bundan
Agar K>bo’lsa qator yaqinlashuvchi KIsbot. (3.11)
Bundan yaqinlashuvchi ketma katlikning hossasiga ko’ra son topilib biror no’merdan boshlab ketma ketlikning hadlari shu sonidan katta bo’ladi ya’ni
bundan ning monoton kamayuvchiligi kelib chiqadi. Endi taqqoslash haqidagi teoremaga ko’ra qator yaqinlashuvchi bo’ladi chekli son bo’lgani uchun yaqinlashish, uzoqlashishiga ta’sir ko’rsatmaydi. Endi bo’lsin. U holda yuqorida aytilgan yaqinlashuvchi ketma ketlikning hossasiga ko’ra son topilib biror no’merdan boshlab tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan
qatorning uzoqlashuvchiligidan taqqoslash haqidagi teoremaga ko’ra qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
