Rüstəmov Q.Ə., Fərhadov V. Q., Rüstəmov R. Q

Qeyd. Etalon polinom kimi (n+1) tərtibli polinomu götürməli. n- obyektin tərtibidir.  
 
Ədəbiyyat 
            1. Rüstəmov Q.Ə. Avtomatik tənzimləmə nəzəriyyəsi. 1-ci hissə. Bakı, 2003, 404 s. 
2. Əlizadə A.N., Namazov M.B., Aslanov M.S. Matlab tətbiqi proqramlar paketi və 
    simvollu riyaziyyat. Dərs vəsaiti. Bakı, 2005, 280 s. 
3.Seyidov M.İ., Qardaşova L.A., Səlimov V.H. Kompüter riyaziyyatı. Metodik vəsait, 
 Bakı, “Təhsil” EİM, 2010, 188 s.  
  4.  Дорф  Р.К.,  Бишоп  Р.Х.  Современные  системы  управления.  М:  Лаб.  Базовых  
Знаний. 2004,с.662 
5.Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. Мир, 
1977,с. 341.  

 
 
 
 
 
 
122 
 
 
LABORATORİYA İŞİ №17 
(2 saat) 
 
OPTİMAL TƏNZİMLƏYİCİNİN SİNTEZİ VƏ TƏDQİQİ 
 
Işin məqsədi: Tapşırıq vahid təkan olduğu halda xətti-kvadratik optimal tənzimləyicinin 
qurulması və tədqiqi. 
   
1. N
əzəri məlumat 
 
Optimallaşdırma  kriterisi  kvadratik,  obyekt  isə  xətti  olduğundan  bu  məsələ  xətti-
kvadratik optimallaşdırma məsələsi adlanır.  
Əvvəlki  laborotoriya  işindən  fərqli  olaraq  burada  tənzimləyicinin 
,...)
,
(
2
1
k
k
K

 gücləndirmə 
əmsalı  qapalı  sistemin  verilmiş  etalon  xarakteristik  tənliyi  əsasında  deyil,  optimallaşdırma 
kriterisinin minimumluq şərtindən təyin olunur.  
 
Xətti kvadratik optimal idarəetmə məsələsi. Obyektin tənliyi vəziyyət modeli şəklində 
verilir: 







).
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
t
Du
t
Cx
t
y
t
Bu
t
Ax
t
x
 
Optimallaşdırma kriterisi (funksional): 






f
t
T
T
f
f
T
dt
t
Ru
t
u
t
Qx
t
x
t
Sx
t
x
J
0
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
)
(
2
1
. 
x(0)=x
0
 , t
f
 – qeyd olunub, 
f
f
x
t
x

)
(
-sərbəst. 
 
Burada 
l
m
n
R
y
R
u
R
x



,
,
-uyğun olaraq vəziyyət, idarə və  ölçülən çıxış vektorları, 
0
,
0


R
Q
və 
0

S
 çəki  matrisləridir.  x  və  u    dəyişənlərinə  məhdudiyyət  yoxdur.  Əgər 
məhdudiyyətlər  labüddürsə  onların  ödənilmsini    Q  və  R  çəki    matrislərini  dəyişməklə  dolayı 
yolla  təmin  etmək  olar.  S  matrisini  dəyişməklə  x(t)  son  nöqtəsinin  x=0  koordinat  başlanğıcına 
yaxınlığını tənzimləmək olar.  
 
Məsələnin  qoyuluşu.  Elə  idarə 
)
(
*
t
u
 qanunu  tapmaq  tələb  olunur  ki,  sistemin 


f
t
t
t
x
,
0
,
)
(

 trayektoriyaları üzərində funksional minimal (ən kiçik) qiymət alsın. 
           Məsələnin həlli. Əvvəlcə Hamilton funksiyası tələb olunur: 




.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
t
Bu
t
Ax
t
t
Ru
t
u
t
Qx
t
x
H
T
T
T






 
Idarə siqnalı məhdud olmadığından optimallığın zəruri şərti: 
0
)
(
)
(






t
B
t
Ru
u
H
T

. 
Buradan optimal idarə 
)
(
*
t
u
: 
).
(
)
(
1
*
t
B
R
t
u
T



 
 
Loqranj  vuruğunu  Rikkati  əvəzləməsinin  köməyi  ilə  vəziyyətə  görə  əks  əlaqə  şəklində 
formalaşdırılır: 
).
(
)
(
)
(
t
x
t
P
t



 P(t)  matrisi  aşağıdakı  qeyri-xətti  matris  Rikkati  diferensial 
tənliyinin müsbət müəyyən həllidir: 
Q
t
P
B
BR
t
P
t
P
A
A
t
P
t
P
T
T






)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1

. 
Sağ sərhəd şərti: 
.
)
(
S
t
P
f

 
 
Beləliklə axtarılan optimal idarə: 
)
(
)
(
)
(
*
t
x
t
K
t
u


. 
Burada qeyri-stasionar matris gücləndirmə əmsalı: 

 
 
 
 
 
 
123 
 
 
).
(
)
(
1
t
P
B
R
t
K
T


 
Göründüyü  kimi, 
)
(t
K
 başlanğıc 
0
)
0
(
x
x

 şərtindən  asılı  olmayıb  yalnız  obyektin  (A,B) 
parametrlərindən  və  kriterinin    Q,  R,  S    çəki    əmsallarından  asılıdır.  Bu  xüsusiyyət  optimal 
idarənin  realizasiya  olunmasını  sadələşdirir.  Belə  ki,  hər  dəfə 
0
x -ı  identifikasiya  etmək  lazım 
gəlmir.  Baxılan  məsələdə  yeganə  çətinlik  qeyri-xətti  Rikkati  diferensial  tənliyinin  həll 
olunmasındadır.  
 
Tənzimləmə  məsələləri.  Tənzimləmədə 


f
t
 olduğundan  göstərilən  çətinlik 
əhəmiyyətli  dərəcədə  sadələşir.  Belə  ki,  qərarlaşma 


t
 rejimində  sürət   
0
/

dt
dP
 
olduğundan Rikkati  diferensial tənliyi cəbri tənliklər sisteminə çevrilir ki. 
Bu 
halda 
Rikkati tənliyi: 
0
1





Q
P
B
PBR
P
A
PA
T
T
 
Optimal idarə: 
             
0
,
,
)
(
)
(
1
*





S
P
B
R
K
t
Kx
t
u
T
. 
 
Məsələni  Matlabda  həll  etmək  üçün 


)
,
,
,
(
,
R
Q
B
A
lqr
P
K

 funksiyasından  istifadə 
olunur.  
 
Tənzimləmə  sisteminin  məqsədi 
)
(
)
(
t
g
t
y

 bərabərliyini  ödəməkdən  ibarət  olduğundan 
əks  əlaqəli  ATS-in  tənliyini  qurmaq  lazımdır.  Sadəlik  üçün  tapşırıq  siqnalını  vahid  təkan 
)
(
1
)
(
t
t
g

 şəklində  qəbul  edək.  Bundan  başqa, 
0

D
 qəbul  edək.  Bu  o  hala  uyğundur  ki, 
obyekt  difernsiallayıcı  xassəyə  malik  deyil,  yəni  obyektin  “giriş-çıxış”  diferensial  tənliyində 
,...
,u
u


 törəmələri iştirak etmir. Məsələn, 
.
4
2
u
y
y
y





 
Obyektin vəziyyət tənliyi: 
                                                               
.
0
,
,
/




D
Cx
y
Bu
Ax
dt
dx
                                                         (1) 
Qapalı  ATS-in  tənliyini  almaq  üçün 
y
g



 tənzimləmə  xətasından  istifadə  edək.  Bu  ifadə 
qapama  tənliyi  adlanır. 
y
g



 ifadəsini  və  obyektin  (1)  tənliyini  diferensiallasaq  qapalı 
ATS-in tənliyini alarıq: 
.
,
,
x
C
y
u
B
x
A
x
x
C
y

















 
h
y
u
z
x






,
,

 işarə etsək qapalı ATS-in tənliyini aşağıdakı şəklə gətirmək olar: 
                                                                
.
0
,
)
,
0
(
,
1
1




D
C
h
B
A






                                                              (2) 
Burada  
                                        
                                         (3) 
0
1
  –n-ölçülü  sıfır  vektor-sütun;  0
2
-n-ölçülü  vektor-sətir;  n-(1)  obyektinin  tərtibi,  yəni 
T
n
x
x
x
x
)
,...,
,
(
2
1

- vektorunun ölçüsü. 
Matlabda   


)
,
,
1
,
1
(
,
R
Q
B
A
lqr
P
K

 funksiyası  optimal  idarəni  aşağıdakı  şəkildə    təyin 
etməyə imkan verir: 
                                      
)
...,
,
,
(
,
)
(
3
2
2
2
1
n
k
k
k
K
z
K
k
K









.                                    (4) 

 
 
 
 
 
 
124 
 
 
P
BP
R
K
,
1


-cəbri Rikkati tənliyinin həllidir. Fiziki u(t) idarəsinə keçmək üçün (4) ifadəsini 
inteqrallamaq lazımdır. Onda: 
                                                   
 
.
)
(
0
0
2
1












t
t
x
K
dt
k
dt
t
u


                                                (5) 
Tənzimlənən çıxış kəmiyyəti: 


t
hdt
t
y
0
)
(
. 
Matlabda  inteqrallama  cumtrapz(t,  .)  funksiyasının  köməyilə  həyata  keçirilir.  Idarə  (5)-in 
şəklindən  göründüyü  kimi  onu  realizasiya  etmək  üçün  xəta 

 və  bütün  x
i
  vəziyyət  dəyişənləri 
ölçülə  bilməlidir.  Əksər  məsələlərdə  x(t)  fiktiv  (“yalançı”)  dəyişən  olduğundan  onu  bilavasitə 
ölçmək mümkün olmur. Bu halda  x(t)-ni ölçülən u(t) və y(t) əsasında müşahidəçinin köməyi ilə 
qiymətləndirirlər 
 
4 .  
 
 
2. Nümunə 
Obyektin tənliyi: 
1
2
2
2
1
,
787
.
0
6
.
4
,
x
y
u
x
x
x
x







 
Optimallaşdırma kriterisi: 
.
min
)
(
0
)
(
2
2





u
dt
ru
q
J

 
Burada: 
.
0
,
)
0
1
(
,
787
.
0
0
,
6
.
4
0
1
0

















D
C
B
A
 
 
Çəki əmsallarını seçək: q=1 , r=1. 
Məsələ  qapalı ATS-in  (2) modeli  əsasında   həll olunur. Bu modelin  proqrama daxil olan  A
1
,B
1
 
parametrləri (3)-ə əsasən: 
.
0
,
)
0
1
0
(
,
787
.
0
0
0
,
6
.
4
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1


























D
C
B
A
 
 
Başlangıc şərtlər 
.
0
)
0
(
,
0
)
0
(
,
1
)
0
(
2
1



z
z

 
 Şəkil  1-də  uyğun  Matlab  proqramı  (a),  və  keçid  xarakteristikası  y(t)  idarə  siqnalı  u(t)  (b) 
göstərilmişdir.  
 

 
 
 
 
 
 
125 
 
 
                           
 
                                                           
a)  
 
                                                                       b) 
                                                                   Şəkil 1 
Optimal gücləndirmə əmsalı: 
7419
.
0
,
629
.
3
,
0
.
1
3
2
1




k
k
k
 alınmışdır.  
Qapalı 
ATS-in 
,
,
0
)
det(
1
1
K
B
A
A
A
sI
c
c




 xarakteristik 
tənliyinin 
kökləri 
i
p
p
293
.
0
292
.
0
,
6
.
4
3
,
2
1





 olduğundan 
0
)
Re(

i
p
 dayanıqlıq şərti ödənilir.  
 
Ifrat  tənzimləmə 
%
3
.
4
,  tənzimləmə  vaxtı 
.
18s
t
T

 İdarə  siqnalının  maksimal  qiyməti 
102
.
1
max

u
. Çəki əmsalı q=10 qəbul etsək tənzimləmə vaxtını azalda bilərik: 
28
.
11

T
t
. Lakin 
bu halda optimal gücləndirmə əmsalı böyüdüyündən  


3150
.
5
7293
.
6
1623
.
3


K
 
idarə siqnalının maksimal qiyməti də 
968
.
1
max

u
 böyük alınır.  
 
Şəkil 2-də q=10, r=1 çəki əmsallarına uyğun gələn y(t) və u(t) siqnalları göstərilmişdir.  
 
t 

 
 
 
 
 
 
126 
 
 
                                                 
 
 
 
Şəkil 2 
Idarə  siqnalına 
1
1



u
 şəkilli    mövqe  məhdudiyyəti  tələb  olunarsa,  r  əmsalını  artırmaqla 
buna nail olmaq olar. Lakin bu halda tənzimləmə vaxtı artacaqdır.  
Şəkil  3a-da 


74
.
0
63
.
3
0
.
1


K
 qiymətlərində  optimal  ATS-in  Simulink  sxemi,  b-də  isə  y(t) 
və u(t) siqnalları göstərilmişdir.  
g=1
y=x1
x2
e
x1
k1
k2
k3
OBYEKT
u
u
e
KRITERININ  HESABLANMASI
0.787
s  +4.6s
2
Transfer Fcn
Step
Scope1
1
s
Integrator1
1
s
Integrator
1
Gain2
-0.7419
-3.6296
u(1)^2+u(2)^2
Fcn
0.0003316
Display
du/dt
 
                                                                              a) 
                                                                                     
b) 
                                                                         Şəkil 3  
Göründüyü kimi, y(t) və u(t) Matlab proqramı ilə alınmış xarakteristikalar ilə (şəkil 1,b) eynidir. 
Displeydə  vizuallaşdırılan  optimallaşdırma  kriterisinin  minimal  qiyməti 
0003316
.
0
min

J
 sıfra 
çox yaxın alınmışdır.  
 
Tənzimləyicini  realizasiya  etmək  üçün  hər  iki  vəziyyət  dəyişəni  ölçülməlidir.  Obyektin 
tənliyinə  əsasən 
dt
dx
x
1
2

 olduğundan 
2
x
dəyişəni 
1
x -i  diferensiallamaq  yolu  ilə 
“ölçülmüşdür”.  

 
 
 
 
 
 
127 
 
 
 
Əgər  vəziyyət  dəyişənlərini  bilavasitə  ölçmək    mümkün  deyilsə  onları  müşahidəçinin 
köməyilə y(t) və u(t) siqnallarını ölçərək qiymətləndirmək mümkündür 
 
4 .  
 
3. Tapşırıq və işin yerinə yetirilməsi qaydası 
 
1.  Variantlar üzrə obyektin 
)
(s
W
 ötürmə funksiyasını uyğun (A,B,C) vəziyyət modelini, 
optimallıq kriterisinin q və r çəki əmsallarını seçməli. 
2.  Vəziyyət  modellərindən  istifadə  edərək  nümunəyə  əsasən  (şəkil  1,a)  Matlab 
proqramının köməyi ilə K  gücləndirmə matrisini tapıb keçid  y(t) xarakteristikasını  və u(t) idarə 
siqnalını almalı (şəkil 1,b). 
3.  Ötürmə  funksiyasından  və  optimal 
3
2
1
,
,
k
k
k
 gücləndirmə  əmsallarından  istifadə 
edərək  ATS-in  Simulinkdə  modelləşdirmə  sxemini  yığmalı  (şəkil,  3,a).  y(t)  və  u(t)  siqnallarını 
almalı (şəkil 3,b). 
4. y(t) və u(t) xarakteristikalarını müqayisə etməli. Düzgün tərtib olunmuş sxem üçün hər 
iki halda bu xarakteristikalar eyni olmalıdır.  
                       
4. Hesabatın məzmunu 
 
 
Hesabat  2-5  nəfərdən  ibarət  qruplar  tərəfindən  tərtib  olunur  və  aşağıdakı  məlumatı  əks 
etdirməlidir.  
1.  İşin adı və məqsədi. 
2.  Variant  üzrə  obyektin 
)
(s
W
ötürmə  funksiyası,  uyğun  vəziyyət  (A,B,C,D)  modeli, 
kriterinin q və r çəki əmsalları. 
3.  Optimal  K  gücləndirmə  əmsalını  təyin  etmək  üçün  Matlab  proqramı,  y(t)  və  u(t) 
xarakteristikaları (şəkil 1,a,b). 
4.  Simulink sxemi y(t) və u(t) xarakteristikaları (şəkil 3,a,b). 
5.  Hər iki hal üçün y(t) və u(t) siqnallarının müqayisəsi. Nəticə. 
 
5. Yoxlama sualları 
 
1.  Xətti-kvadratik optimallaşdırma məsələsi nədir? 
2.  Optimallıq kritetisi nəyi xarakterizə edir? 
3.  İdarə və vəziyyət dəyişənlərinə məhdudiyyət varmı? 
4.  Məsələnin həlli nəticəsində nə təyin edilir? 
5.  Matlab funksiyası. 
6.  Tapşırıq siqnalı. 
7.  Displeyin rolu. 
 
6. Variantlar 
 
№ 
Obyektin ötürmə 
funksiyası, 
)
(s
W
 
Uyğun vəziyyət (A,B,C,D) modeli,  
q və r çəki əmsalları  
1. 
2
,
1
2
.
0
2
2



n
s
s
 
1
,
10
0
,
)
0
1
(
,
2
0
,
2
.
0
1
1
0




















r
q
D
C
B
A
 
2. 
2
,
4
8
.
0
6
2



n
s
s
 
5
,
1
0
,
)
0
1
(
,
6
0
,
8
.
0
4
1
0




















r
q
D
C
B
A
 

 
 
 
 
 
 
128 
 
 
3. 
3
,
10
15
2
10
2
3




n
s
s
s
 
2
,
5
.
0
0
,
)
0
0
1
(
,
10
0
0
,
2
15
10
1
0
0
0
1
0





























r
q
D
C
B
A
 
4. 
2
,
10
6
20
2



n
s
s
 
3
.
0
,
2
0
,
)
0
1
(
,
20
0
,
6
10
1
0




















r
q
D
C
B
A
 
5. 
2
,
4
2
.
0
10
2



n
s
s
 
5
,
20
0
,
)
0
1
(
,
10
0
,
2
.
0
4
1
0




















r
q
D
C
B
A
 
6. 
2
,
1
5
2


n
s
 
4
,
2
0
,
)
0
1
(
,
5
0
,
1
0
1
0



















r
q
D
C
B
A
 
7. 
3
,
30
6
8
5
2
3




n
s
s
s
 
4
,
7
0
,
)
0
0
1
(
,
15
0
0
,
8
6
30
1
0
0
0
1
0





























r
q
D
C
B
A
 
8. 
2
,
40
50
2
2



n
s
s
 
20
,
16
0
,
)
0
1
(
,
2
0
,
50
40
1
0




















r
q
D
C
B
A
 
9. 
2
,
100
30
100
2



n
s
s
 
8
.
0
,
1
0
,
)
0
1
(
,
100
0
,
30
100
1
0




















r
q
D
C
B
A
 
10. 
3
,
50
3
24
20
2
3




n
s
s
s
 
6
,
2
0
,
)
0
0
1
(
,
20
0
0
,
24
3
50
1
0
0
0
1
0





























r
q
D
C
B
A