Signallar va tizimlar

6.4. z-almashtirishning xossalari

Quyida signallarga raqamli ishlov berishda keng foydalaniladigan z-almashtirishning ba’zi foydali xossalarini qisqacha keltiramiz.

1. Chiziqlilik. Agar va ketma-ketliklar va shaklidagi z-ko‘rinishlarga ega bo‘lsa, u holda z-ko‘rinishlarning chiziqli kombinatsiyasi quyidagicha ifodalanadi:


(6.19)

2. Kechikish yoki siljish. Agar ketma-ketlikning z-ko‘rinishi bo‘lsa, u holda elementga kechikkan ketma-ketlikning z-ko‘rinishi bo‘ladi. Bu xossadan diskret vaqt tizimlari uzatish funksiyasi z ni vaqt bo‘yicha farqlanuvchi tenglamaga aylantirida keng foydalaniladi

3. Svertka (o‘ram). Kirish signali va impuls xarakteristikasi bo‘lgan diskret vaqt tizimi berilgan bo‘lsa, tizim chiqishidagi signal quyidagicha aniqlanadi:

(6.20)
z-ko‘rinishlar orqali tizim kirish va chiqishi quyidagicha bog‘langan:


(6.21)
bunda , va lar mos ravishda , va ketma-ketliklarning z-ko‘rinishlari. Agar va berilgan bo‘lsa, u holda ni ning teskari z-almashtirishi orqali topish mumkin. Yuqoridagidan ko‘rinadiki (6.21a) tenglamadan svertka (o‘ram) olish jarayoni z-da ko‘paytirish amaliga aylanib qoladi.
4. Differensiallash. Agar orqali ketma-ketlik z-ko‘rinishi ifodalansa, u holda ning z-ko‘rinishini ni differensiallash orqali topish mumkin



z-almashtirishning bu xossasidan yuqori tartibli qutblarga ega bo‘lganda, uning teskari z-almashtirishini hisoblashda foydalaniladi.

Diskret vaqt tizimlarini qutb va nollar orqali ifodalash

Amalda foydalaniladigan ko‘pgina diskret vaqt tizimlari uchun z-almashtirishli, ya’ni tizim uzatish funksiyasi ni uning qutbi va noli orqali ifodalash mumkin. Misol shaklida, -tartibli diskret vaqt oddiy filtri uchun quyidagi z-almashtirishni ko‘rib chiqamiz ( bo‘lgan holat uchun):

bunda (6.22)

va – filtr koeffitsientlari.
Agar funksiya nuqtalarda qutblarga ega bo‘lsa va nuqtalarda nolga teng bo‘lsa, u holda funksiyani ko‘paytmalarga yoyish va quyidagi ko‘rinishga olib kelish mumkin:


(6.23)
bunda – -nchi nol, – -nchi qutb va – kuchaytirish koeffitsienti. z-almashtirishning qutblari deb z ning funksiya ni cheksizlikka teng bo‘lishiga olib keluvchi qiymatlariga aytiladi. z ning ni nolga teng bo‘lishini ta’minlovchi qiymatlari uning nollari deb ataladi.
funksiyaning qutb va nollari haqiqiy yoki kompleks bo‘lishi mumkin. agar qutb va nollar kompleks bo‘lsa, u holda ular funksiyaga kompleks moslashgan juftlik bo‘lib kiradilar, chunki va koeffitsientlar haqiqiy bo‘lishi kerak. (3.24) tenglamadan ko‘rinadiki agar funksiyaning qutb va nollari joylashishi ma’lum bo‘lsa, u holda funksiyani o‘zgarmas kattalik (konstanta)gacha aniqlik bilan qayta tiklash mumkin.
z-ko‘rinishdagi axborotni qutb va nollarning digrammasi ko‘rinishida tasvirlash qulay. Ushbu diagrammada qutblarning o‘rni () bilan belgilangan, nol esa (0) bilan belgilangan. Rasmdagi misolda va nuqtalarida qutblar joylashgan, nol esa nuqtada joylashgan.



6.1- rasm.z-almashtirishni qutb () va nollar (0) diagrammasi ko‘rinishida tasvirlash.

Qutb va nollarning diagrammasi diskret vaqt tizimi xossalarini olib beradi. Misol uchun, qutb va nollarning joylashishiga qarab tizimning amplituda-chastota xarakteristikasini va uning qanday darajada barqarorligini bilib olish mumkin. Barqaror tizimlar uchun hamma qutblar, birlik o‘lcham (radius)ga ega doira ichida bo‘lishi yoki birlik o‘lchamli doira nollariga mos bo‘lishi mumkin.

Ko‘p hollarda z-almashtirishni yoyilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin emas, uni tenglamadagidek ko‘p hadlar nisbati sifatida ifodalash mumkin. Bu hollarda ni uning nol va qutblar z-ko‘rinishida ifodalash uchun, maxraj ko‘phadligi va surat ko‘phadligi ning ildizlarini topish kerak bo‘ladi.
ko‘rinishida beriladigan ikkinchi tartibli ko‘phadning ildizlari quyidagi formula orqali topiladi:
(6.24)


va ko‘phadlarning nisbatan yuqori tartibli ildizlarini topish murakkab masala hisoblanadi. Amalda bu ildizlarni topishda raqamli usullardan foydalaniladi yoki Nyuton yoki/hamda Beystou (Baistow) algoritmlaridan foydalaniladi.