6 - rasm. Ideal suyuqlik uchun Bernulli tenglamasiga doir chizma.
mu 2
d
Pi ,
2
(7)
m1 bo’lsa,
m u 21
1
2
ga teng bo’ladi.
m u 2 2
2 2 ва
2 2
kesimlar orasidagi bo’lakning kinetik
energiyasi esa 2
2
ga teng. Demak, ko’rilayotgan 1-1 va 2-2 kesimlar orasidagi
bo’lakning kinetik energiyasi dt vaqtda quyidagi miqdorga o’zgaradi:
m u 2 2 m u 21
2 1 .
(8)
dS1 dl1 bilan zichligining ko’paytmasiga teng, ya`ni
m1 ds1dl1.
Shuningdek
2 2 ва
2 2
kesimlar orasidagi bo’lakning massasi
m2 ds2 dl2 dl1
ва dl2 лар dt
vaqt ichida 1-1 va 2-2 kesimlarning yurgan yo’lini
ko’rsatadi, shuning uchun
dl1
u1dt
dl2 u2 dt
(9)
u holda
m1 va
m2 uchun quyidagi munosabatni olamiz:
m1 ds1u1dt. m2 ds2 u2 dt.
Bu munosabatni (7) ga qo’ysak va uzluksizlik tenglamasidan q u1ds1 u2 ds2
ekanligini nazarga olsak, kinetik energiyaning o’zgarishi quyidagicha ifodalanadi:
m u 2 2
m u 21
qdtu 2 2
qdtu 21
u 2 2
u 21
2 1
qdt
.
(10)
2 2 2 2
2 2
Endi, bajarilgan ishlarni tekshiramiz. Bu ishlar 1-1 va 2-2 kesimlarga ta`sir qiluvchi gidrodinamik kuchlarning va og’irlik kuchining bajargan ishlaridir. elementar oqimchaning yon sirtlariga ta`sir qiluvchi bosim kuchining bajargan ishi nolga teng ekanligi harakatning barqarorligidan ko’rinadi.
etuvchi
p2 bosimning bajargan ishi
A2 bilan belgilanadi.
6 - rasmdan ko’rinib turibdiki,
A1
p1ds1dl1 ,
A2
p2 ds2 dl2 .
3 ni nazarga olsak va uzluksizlik tenglamasidan foydalansak, quyidagi munosabat kelib chiqadi:
A1 p1qdt ,
A2
p2 qdt .
(11)
Og’irlik kuchi bajargan ishni
A3 deb belgilaymiz. Bu ish
1 1 ва
2 2 kesimlar
orasidagi bo’lak o’z vaziyatini saqlagani uchun 11 ва
1 1
kesimlar orasidagi bo’lak
bilan
2 2 ва
2 2
kesimlar orasidagi bo’laklar markazlarining vertikal o’q bo’yicha
vaziyatlari
z1 va z 2
farqiga ko’paytirilganiga teng:
lekin,
A3 G z1 z2 ,
G ds1 dl1 ds1 u1 dt qdt ; G ds2 dl2
bo’lgani uchun
ds2 u2 dt qdt ,
A3 qdt z1 z2 .
(12)
Endi, (10), (11) va (12) larni (7) ga keltirib qo’ysak, elementar oqimcha uchun kinetik energiyaning o’zgarish qonunini hosil qilamiz:
u 22 u 21
qdt
2
p1qdt p2 qdt qdt z1 z2 ,
2
bu yerda p2 kuch suyuqlik harakatiga teskari yo’nalgan bo’lgani uchun tenglamaning
o’ng tomonidagi ikkinchi had A2 manfiy ishora bilan olindi. Oxirgi tenglamaning ikki
tomonini qdt ga bo’lsak, u holda
u 2 u 2 p p
2 1
1 2 z z
2g 2g 1 2
Bir xil indeksli hadlarni gruppalab joylashtirsak, Bernulli tenglamasi hosil bo’ladi:
u 2 p u 2 p
1 1 z
2 2 z .
(13)
2 g 1 2 g 2
Shunday qilib, oqimcha uchun Bernulli tenglamasi kinetik energiyaning o’zgarish qonunini ifodalar ekan
.
7 - rasm. Ideal suyuqlik uchun Bernulli tenglamasining geometrik ma`nosini tushuntirishga doir sxema.
Bernulli tenglamasining har bir hadi geometrik va energetik mazmunlarga ega. Buni aniqlash uchun biror elementar oqimcha olib, uning 1-1, 2-2 va 3-3 kesimlarini
ko’ramiz (7 - rasm). Bu kesimlarning og’irlik markazi biror 0-0 tekisligidan
z1 , z 2 va
z3 masofalarda bo’lsin. Bular qiyosiy tekislik 0-0 dan elementar oqimchaning
geometrik balandliklarini ko’rsatadi. Endi, qabul qilingan 1-1, 2-2 va 3-3 kesimlar tekisliklari markazida p’ezometr va uchi etilgan shisha trubkachalar o’rnatamiz. Bu holda p’ezometrlarda suyuqlik kesimlar og’irlik markaziga nisbatan ma`lum balandlikka ko’tariladi. Bu ko’tarilish gidrostatika qismida ko’rganimizdek kesimlarda quyidagiga teng bo’ladi:
h1
p1 ,
h2
p2 ,
h3
p3 . h ,
1
h2 , h3
lar p’ezometrik balandliklar deb ataladi. Odatda p’ezometrlar yordamida truba va boshqa idishlarda harakat qilayotgan suyuqlikning gidrostatik bosimi o’lchanadi.
Uchi egilgan naychalarda suyuqlik p’ezometrdagiga qaraganda balandroqqa ko’tariladi. Buning sababi shundaki, shisha naylarning egilgan uchi suyuqlik harakati yo’nalishida bo’lib, gidrostatik bosimga qo’shimcha ravishda suyuqlik tezligiga bog’liq bo’lgan bosim paydo bo’ladi. Bunda suyuqlik zarrachalarining inertsiya kuchi qo’shimcha bosim vujudga kelishiga sabab bo’ladi. Balandliklar quyidagicha bo’ladi:
p u 2
p u 2
p u 2
h 1 1 ,
h 2 2 ,
h 3 3 .
1 2g
2 2g
3 2g
P’ezometrdagi suyuqlik balandligi bilan uchi egilgan shishalardagi balandlik farqi
u 2 u 2 u 2
h1
1 ; 2 g
h2
2 ;
2 g
h3
3 ,larga teng bo’ladi va tezlik
2 g
balandligi deyilari. Shunday qilib, geometrik nuqtai nazardan Bernulli tenglamasining
hadlari quyidagicha ataladi:
u 21
2 g
u 2 2
,
2 g
u 23
,
2 g
- suyuqlikning tegishli kesimlaridagi
tezlik bosimi (balandligi);
p1 ,
p2 , p3
p’ezometrik balandliklar;
z1 , z2
, z3
geometrik balandliklar (tegishli kesimlarning og’irlik markazi 0-0 tekisligidan
qancha balandlikda turishini ko’rsatadi
u p
2
2g , , z
lar uzunlik birliklarida o’lchanadi.
P’ezometrdagi suyuqlik balandliklarini birlashtirsak, hosil bo’lgan chiziq p’ezometrik chiziq (R-R) deyiladi. Bernulli tenglamasida tezlik balandligi, p’ezometrik va geometrik baladliklarning umumiy yig’indisi o’zgarmas miqdor bo’lib, u 7- rasmda N- N chiziq bilan belgilanadi va suyuqlikning bosim (dam) chizigi deb ataladi.
Gidrodinamikada bu uchta balandlik
u p
2
2g , , z
ning yig’indisi suyuqlikning to’liq
bosimi (dami) deb ataladi va N bilan belgilanadi:
H u p
2
2 g
(14)
Bu aytilganlar ideal elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasining geometrik ma`nosini bildiradi. Uning energetik ma`nosi kinetik energiyaning o’zgarish qonuniga asoslangan. Boshqacha aytganda, Bernulli tenglamasi suyuqliklar uchun energiyaning saqlanish qonunidir. Bernulli tenglamasi (13) ning chap tomoni elementar oqimchaning 1-1 kesimdagi to’lik solishtirma energiyaga teng yoki umuman o’zgarmas miqdordir. Bu yerda solishtirma energiya deb og’irlik birligiga to’gri kelgan energiya miqdoriga aytiladi. Bu aytilganlarga asosan Bernulli tenglamasi
hadlarining energetik ma`nosi quyidagicha bo’ladi:
u 21
2g
u 2 2
,
2g
u 23
,
2g
- elementar
energiyasi; p1 z ,
1
p2 z ,
2
p3 z
3
- elementar oqimcha kesimlari uchun solishtirma
potentsial energiya; solishtirma energiya;
p1 ,
p2 , p3
kesimlarga tegishli bosim bilan ifodalanuvchi
z1 , z2 , z3
1-1, 2-2, 3-3 kesimlarga tegishli og’irlik bilan ifodalanuvchi solishtirma
holat energiyasi.
Suyuqlik harakati vaqtida mexanikaning qonunlariga asosan ish bajariladi.
Shu bajarilgan ishlar bo’yicha Bernulli tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin: ikkita kesim uchun yozilgan Bernulli tenglamasi (14) shu ikki kesimda tegishli hadlarining ayirmalaridan tashkil topadi:
u 2 u 2
r 2
2g
- kinetik energiyaning birlik og’irlik uchun o’zgarishi;
p1 p2
- bosim kuchi bajargan ishning birlik og’irlikka tegishli qismi;
z1 z2
- og’irlik bajargan ishning birlik og’irlikka tegishli qismi.
Bu aytilganlardan xulosa qilib aytish mumkinki, suyuqlik harakat qilayotganda solishtirma kinetik va solishtirma potentsial energiyalar harakat davomida o’zgarib boradi, lekin to’liq solishtirma energiya o’zgarmaydi.
Dostları ilə paylaş: |