4 - rasm. Tezlik epyurasi (punktir chiziq) va o’rtacha tezlik (tutash chiziq): a- trubalarda, b- kanallarda.
Elementar oqimcha uchun uzluksizlik tenglamasini chiqaramiz. Oqimda harakat
o’qi
l l
bo’lgan elementar oqimchani olib, uning 1-1 va 2-2 kesimlar orasidagi
bo’lagini tekshiramiz (5 - rasm). 1-1 kesimning yuzasi
dS1
ning tezligi
u1 , 2-2
kesimning yuzasi
dS 2 ning tezligi u 2
bo’lsin va bu kesimlarda tegishli elementar sarflar
q1 u2 dS1 ва
q2 u2 dS2
ga teng bo’lsin.
5 - rasm. Uzilmaslik tenglamasiga doir chizma.
Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar orqali o’tuvchi bu elementar sarflar
q1 q2
bo’ladi. Buni isbotlash uchun quyidagi ikki holni ko’ramiz:
(4)
q1 q2 bo’lsin. Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar o’rtasida suyuqlik to’planishi yoki
elementar oqimcha devorlari orqali tashqariga chiqishi mumkin degan xulosa chiqadi. Yuqorida aytilganidek, elementar oqimcha devoridan suyuqlik o’tmaydi va elementar oqimchaning ko’ndalang kesimlari o’zgarmasdir. Demak, bu taxmin notug’ri ekanligi ko’rinib turibdi.
q1 q2 bo’lsin. Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar orasiga qayerdandir suyuqlik
qo’shilib turishi yoki elementar oqimcha devori orqali ichqariga o’tib turishi kerak. Yuqoridagiga asosan bunday taxmin ham noto’g’ri ekanligi ko’rinadi. Shunday qilib
tenglik to’g’ri ekanligi isbotlandi. Elementar sarflar tengligidan
ekanligi kelib chiqadi.
u1ds1 u2 ds2
(5)
1-1 va 2-2 kesimlar ixtiyoriy tanlab olinganligi uchun elementar oqimchaning xoxlagan kesimi uchun elementar sarf teng bo’ladi, ya`ni
u1ds1 u2 ds2
u3 ds3 un dsn
const .
tenglama elementar oqimcha uchun uzluksizlik tenglamasi deb ataladi. Bu tenglamadan ko’rinib turibdiki, elementar oqimchaning barcha kesimlarida elementar sarf bir xildir. (5) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
u2 dS 2 .
u1 dS1
Bundan elementar oqimchaning ixtiyoriy ikkita kesimidagi tezliklar bu kesimlar yuzasiga teskari proportsional ekanligi kelib chiqadi.
Oqim uchun uzluksizlik tenglamasini chiqaramiz. Bu maqsadda elementar oqimcha uchun olingan uzluksizlik tenglamasidan foydalanamiz. Oqim sarfi cheksiz ko’p elementar oqimchalar sarflari yig’indisidan iborat ekanligini nazarga olib, (5)
tenglamaning chap va o’ng qismini integrallar bilan almashtiramiz:
s1 va s2
yuzalar (5 - rasm) bo’yicha olingan
u1dS1 u2 dS 2.
(1) tenglama asosan
bo’ladi. Shuning uchun
S1
u1dS1 v1 S1 ,
S1
v1 S1 v2 S2 .
S2
u2 dS2
S2
v2 S2.
(6)
Tanlab olingan 1-1 va2-2 kesmalar ixtiyoriy bo’lgani uchun
v1 s1
v2 s2
v3 s3
vn sn
const .
Bu oqim uchun uzluksizlik tenglamasidir. Bu tenglamadan ko’rinadiki, oqimning yo’nalishi bo’yicha ko’ndalang kesimlar yuzasi va tezligi o’zgarib boradi. Lekin sarf o’zgarmaydi. (6) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
v1 s2 ,
v2 s1
ya`ni oqimning ko’ndalang kesimidagi o’rtacha tezlik tegishli kesimlar yuziga teskari proportsionaldir.
Bernulli tenglamasini chiqarish uchun kinetik energiyaning o’zgarishi qonunidan
foydalanamiz. Harakat o’qi
l l
bo’lgan biror elementar oqimcha ajratib, uning 1-1 va
2-2 kesimlar bilan ajratilgan bo’lagini olamiz. U holda bu bo’lak dt vaqtda harakat
qilib,11 ва
2 2
kesimlar orasidagi vaziyatga keladi (6 - rasm).
1-1 kesimning yuzasi
ds1
, bu yuzaga ta`sir qiluvchi kuch
p1 va tezlik u1
bo’lsin,
2-2 kesimning yuzasi esa
ds2
unga ta`sir qiluvchi kuch
p2 tezlik esa
u2 bo’lsin,
kinetik energiyaning o’zgarish qonunini elementar oqimchaning ana shu harakatdagi bo’lagiga tadbiq qilamiz. Bu qonunga asosan biror jism harakati vaqtida uning kinetik energiyasining o’zgarishi, shu jismga ta`sir qilayotgan kuchlar bajargan ishlarning
mu 2
yig’indisiga tengdir. Buning matematik ifodasi quyidagicha bo’ladi: bu erda
d -
2
kinetik energiyaning dt vaqtda o’zgarishi, Pi - barcha kuchlar bajargan ishlarning yig’indisi.
Endi, elementar oqimcha bo’lagining 1-1 va 2-2 kesimlar orasidagi vaziyatdan
dt vaqt ichida
11 ва
2 2
kesimlar orasidagi vaziyatga kelganda uning kinetik
energiyasining o’zgarishini ko’ramiz. Harakat barqaror bo’lgani uchun bu o’zgarish
11 ва
1 1
kesimlar orasidagi bo’lak bilan
2 2 ва
2 2
kesimlar orasidagi bo’lak
kinetik energiyalarning ayirmasiga teng.
Dostları ilə paylaş: |