"tasdiqlayman" Matematika kafedrasi mudiri

Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni
(X,Y) ikki o’lchovli tasodifiy miqdor taqsimot qonunini
(2.2.2)

Y	^y1	^y2	…	^ym
X
^x1	^p11	^p12	…	^p1m
^x2	^p21	^p22	…	^p2m
…	…	…	…	…
^xn	^pn1	^p21	…	^pnm

(2.2.3)

bu yerda barcha p_ij ehtimolliklar yig’indisi birga teng, chunki birgalikda bo’lmagan hodisalar to’la gruppani tashkil etadi. (2.2.2) formula ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni, (2.2.3) jadval esa birgalikdagi taqsimot jadvali deyiladi.
(X,Y) ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonuni berilgan bo’lsin, har bir kompanentaning alohida (marginal) taqsimot qonunlarini topish mumkin. Har bir uchun hodisalar birgalikda bo’lmaganligi sababli
Demak,
, .
6-misol. Ichida 2 ta oq, 1 ta qora, 1 ta ko’k shar bo’lgan idishdan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan sharlar ichida qora sharlar soni X tasodifiy miqdor va ko’k rangdagi sharlar soni Y tasodifiy miqdor bo’lsin. (X,Y) ikki o’lchovli tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot qonunini tuzing. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarini toping.
X tasodifiy miqdorqabul qilishi mumkin qiymatlari: 0 va 1: Y tasodifiy miqdorning qiymatlari ham 0 va 1. Mos ehtimolliklarni hisoblaymiz:

;

(X,Y) vektorning taqsimot jadvali quyidagicha ko’rinishga ega:

Y		0		1
X
0		1			2
		6		6
1		2			1
		6		6

Bu yerdan kelib chiqadi. X va Y tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlarni quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
va

2.3 Ba’zi muhim taqsimotlar
Binomial taqsimot
X diskret tasodifiy miqdor binomial qonun bo’yicha taqsimlangan deyiladi, agar u 0,1,2,…n qiymatlarni
(2.3.1)
ehtimollik bilan qabul qilsa.
Bu yerda
Binomial qonun bo’yicha taqsimlangan X diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishga ega:

X=m	0	1	2	…	M	…	N
				…		…

Nyuton binomiga asosan Bunday taqsimotni orqali belgilaymiz.

Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo’ladi:

Endi bu taqsimotning sonli harakteristikalarini hisoblaymiz.


Demak,
Puasson taqsimoti
Agar X tasodofiy miqdor 0,1,2,…m,… qiymatlarni
(2.3.2)
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda a biror musbat son.
Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan X diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishga ega:

X=m	0	1	2	…	M	…
				…		…

Teylor yoyilmasiga asosan Bu taqsimotni orqali belgilaymiz. Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo’ladi:

Endi bu taqsimotning sonly xarakteristikalarini hisoblaymiz:


Demak, ; .
Geometrik taqsimot
Agar X tasodifiy miqdor 1,2,…m,… qiymatlarni
(2.3.3)
ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u geometrik qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda .
Geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorlarga misol sifatida quyidagilarni olish mumkin: sifatsiz mahsulot chiqqunga qadar tekshirilgan mahsulotlar soni; gerb tomoni tushgunga qadar tashlangan tangalar soni; nishonga tekkunga qadar otilgan o’qlar soni va hokazo.
Geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan X diskret tasodofiy miqdor taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishga ega:

X=m	1	2	…	M	…
	P	Qp	…		…

,
chunki ehtimolliklar geometri progressiyani tashkil etadi.
Shuning uchun ham (2.3.3) taqsimot geometrik taqsimot deyiladi va Ge(p) orqali belgilanadi.
Umumiy taqsimot funksiyasi quyidagicha bo’ladi.

Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz:

Demak, ; .
Tekis taqsimot
Agar uzluksiz X tasodifiy miqdor zichlik funksiyasi
(2.3.4)
ko’rinishda berilgan bo’lsa, u [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu tasodifiy miqdorning grafigi 3-rasmda berilgan. [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan.
X tasodifiy miqdorni [a,b] ko’rinishda belgilanadi. [a,b] uchun taqsimot funksiyasini topamiz. Agar tengsizlik o’rinli bo’lsa

Agar x va x>b bo’lsa,
bo’ladi. Demak,

F(x) taqsimot funksiyaning grafigi 4-rasmda keltirilgan






[ a, b] tasodifiy miqdor uchun MX va DX larni hisoblaymiz:

Demak,

Ko’rsatkichli taqsimot
Agar uzluksiz X asodifiy miqdor zichlik funksiya
(2.3.5)
Ko’rinishda berilgan bo’lsin, X tasodifiy miqdor ko’rssatkichli qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda biror musbat son. parametrli ko’rsatkichli taqsimot orqali belgilanadi. Uning grafigi 5-rasmda keltirilgan.

Taqsimot funksiyasi quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi:

Endi ko’rsatkichli taqsimotning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz:


Demak, agar bo’lsa, u holda va
Normal taqsimot
Normal taqsimot ehtimollar nazariyasida o’ziga xos o’rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya‘ni boshqa taqsimotlar ma‘lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko’p qo’llaniladigan taqsimotdir.
X uzluksiz tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko’rinishga ega bo’lsa
(2.3.6)
a va parametrlar bo’yicha normal taqsimot orqali belgilanadi.
normal tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
(2.3.7)
Agar normal taqsimot parametrlari va bo’lsa, u standart normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha ko’rinishga ega:

Taqsimot funksiyasi

ko’rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi.
a va parametrlarni ma‘nosini aniqlaymiz. Buning uchun
tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasini
hisoblaymiz:

Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq, integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali deyiladi,

Shunday qilib, a parametr matematik kutilmani bildirar ekan. Dispersiya hisoblashda almashtirish va bo’laklab integrallashdan foydalanamiz:

Demak, va o’rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan.


Xulosa
Bizga ma’lumki ehtimollar nazariya va matematik statistika fani muhim rivojlanayotgan borayotgan fanlar jumlasidandir. Ayniqsa ehtimollar nazariyasining hayotga bo’lgan tadbiqlari bo’limi salohiyati va amaliy qo’llay bilishi jihatidan muhim ahamiyat kasb etadi va u juda ko’p tushunchalarni o’z ichiga oladi. Markaziy limit teoremalari ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanini yaxshi o’zlashtirish, unga tegishli bo’lgan tushunchalar va turli masalalarni yechishga, ularni oson hal qilishga imkon beradi.
Bu kurs ishini tayyorlash davomida quyidagilarni o’rgandim:
1.Taqsimot differensial funksiyasi ta’rifini o’rganish;
2.Xarakteristik funksiya va uning turlarini o’rganish;
3.Ikki o’lchovli diskret tasodifiy miqdor ehtimolidagi taqsimot qonuni o’rganish;
4.Ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyasini o’rganish;
3.Ba’zi muxim taqsimotlarni o’rganish.

Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida tasodifiy hodisalar va tasodifiy miqdorlar haqidagi tushunchani, ba’zi muxim taqsimotlarni hayotiy masalalarga bo’lgan tatbiqlari bilan tanishib chiqdim.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Аbdushukurov А.А. Xi-kvadrat kriteriysi: nazariyasi va tatbiqi,O’zMU,2006.
   
2. 
   Аbdushukurov А.А., Azlarov T.A., Djamirzayev A.A. Ehtimollarnazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to’plami. Toshkent «Universitet», 2003.
   
3. 
   Azlarov T.A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematikstatistikadan Inglizcha-ruscha-o’zbekcha lug’at. Toshkent: «Universitet», 2005.
   
4. 
   Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi. Ma‘ruzalar matni. Toshkent:
   

«Universitet», 2000.

5. 
   Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей.
   

Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005..

6. 
   Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Ruscha to’ldirilgan 4-nashridan tarj. Inj.-ekon. institutla-ri studentlari uchun o’quv qo’llanma. T.: O’qituvchi, 1977 y.
   
7. 
   V.E.Gmurman. Rukovodstvo k resheniyu zadach po teorii veroyat-nostey i matematicheskoy statistike: ucheb. posobie dlya vtu-zov. 3-e izd., pererab. i dop. M.: «Vыsshaya shkola», 1979 g.
   
8. 
   Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika-dan masalalar echishga doir qo’llanma. Ruscha to’ldirilgan 2-nashridan tarjima. T.: O’qituvchi, 1980 y.