"tasdiqlayman" Matematika kafedrasi mudiri

2- xossa. Differensial funksiyadan dan gacha olingan xosmas integral birga teng:

Isboti. xosmas integral tasodifiy miqdorning ga tegishli qiymat qabul qilishidan iborat hodisaning ehtimolini ifodalaydi. Ravshanki, bunday hodisa muqarrardir va demak, uning ehtimoli birga teng.
Buning geometrik maʼnosi quyidagicha: x oʻq va taqsimot egri chizigʻi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi birga teng. Xususan, tasodifiy miqdorning barcha mumkin boʻlgan qiymatlari (a,b) oraliqqa tegishli boʻlsa, u holda

1-misol. X tasodifiy miqdor taqsimotining differensial funksiyasi tenglik bilan berilgan.Oʻzgarmas a parametrni toping.
Yechilishi. Differensial funksiya shartni qanoatlantirish kerak, shuning uchun

tenglik bajarilishini talab qilishi kerak. Bundan

Aniq integralni topaylik:

Quyidagi xosmas integralni hisoblaymiz:

Shunday qilib, izlanayotgan parametr:


1.2 Xarakteristik funksiyalar va uning xossalari
Taqsimot funksiya bilan bir qatorda u haqidagi hamma ma‘lumotni o’z ichiga oluvchi xarakteristik funksiyalardan ham foydalaniladi. Xarakteristik funksiya yordamida bog’liqsiz tasodifiy miqdorlarning yig’indisining taqsimotini topish, sonli xarakteristikalarni hisoblash bir muncha osonlashadi.
X tasadofiy miqdorning xarakteristik funksiyasi tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi bo’lib, uni yoki orqali belgilaymiz. Shunday qilib, ta’rifga ko’ra:
. (1.2.1)
Agar X tasadofiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiluvchi diskter tasadofiy miqdor bo’lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi
(1.2.2)
formula orqali, agar zichlik funksiyasi bo’lgan uzluksiz tasadofiy miqdor bo’lsa, u holda uning xarakteristik funksiyasi
(1.2.3)
formula orqali aniqlanadi.
Xarakteristik funksiyaning xossalari:

1. 
   Barcha uchun quyidagi tengsizlik o’rinli:
   

2. 
   Agar bo’lsa, bu yerda a va b o’zgarmas sonlar, u holda
   

3. 
   Agar X va Y tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz bo’lsa, u holda X+Y yig’indining xarakteristik funksiyasi X va Y tasodifiy miqdorlarlarning xarakteristik funksiyalari ko’paytmasiga teng:
   

4. 
   Agar X tasadofiy miqdorning k-tartibli boshlang’ich momenti mavjud bo’lsa, u holda unga mos xarakteristik funksiyaning k-tartibli hosilasi mavjud bo’lib, uning t=0 dagi qiymati
   

Isboti. 1. chunki

2.
3. Bu xossa n ta bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar yig’indisi uchun ham o’rinlidir.

1. 
   Hisoblashdan ko'rinadiki Demak t=0 bo’lsa,
   

4-xossadan

(1.2.4)