Tənliyə nəzərən həll edilmiş birtərtibli tənlik üçün həllin varlığı və yeganəliyi

Xətti asıllılıq. Vronsk determinantı.
Tutaq ki,

funksiyaları hər hansı parçasında verilmişdir. Əgər heç olmazsa biri 0-dan fərqli olan elə

ədədləri varsa ki, x-in -dən götürülmüş qiymətlərindən asılı olmayaraq, yəni x-in -dən götürülmüş istənilən qiymətində
(1)
eyniliyi ödənilsin, onda funksiyalarına parçasında xətti asılıq funksiyalar deyilir. Əks halda, yəni (1) eyniliyi yalnız

olduqda ödənilərsə, onda funksiyalarına parçasında xətti asılıq olmayan funksiyalar deyilir.
Teorem 1. Əgər

funksiyaları parçasında xətti asıllıq funksiyalarıdırsa, onda onların Vronsk determinantı adlanan

determinantı parçasının istənilən nöqtəsində 0-a bərabərdir.

İsbatı.Tərifə görə funksiyaları xətti asılı olduğundan, heç olmazsa biri 0-dan fərqli olan ədədləri var ki,

Bu eyniliyi ardıcıl olaraq (n-1) dəfə diferensiyallayıb, alınmış eyniliklərin köməyi ilə aşağıdakı sistemi düzəldək
(6)

2. 
   sisteminə dəyişənlərinə nəzərən xətti-bircins tənliklər sistemi kimi baxsaq, şərtə görə lərin heç olmazsa biri 0-dan fərqli olduğundan üçün (6) sisteminintrivial olmayan həlli olacaqdır. Cəbr kursundan məlumdur ki, n məchullu n tənlikdən ibarət xətti-bircins tənliklər sisteminin trivial olmayan həlli o zaman var ki, onun baş determinantı 0-a bərabər olsun. Deməli (6) sisteminin baş determinantı nöqtəsində 0-a bərabərdir.
   

alarıq. Bu isə Vronsk determinantıdır.
Teorem 2. əmsalları parçasında kəsilməyən
(7)
tənliyinin xətti asılı olmayan

həllərinin Vronsk determinantı parçasının heç bir nöqtəsində 0-a çevrilə bilməz.
İsbatı. Əksindən fərz edək. Tutaq ki, nöqtəsində -dır. Aşağıdakı sistemə baxaq:
(8)
(8)sisteminin baş determinantı 0-a bərabər olduğundan bu sisteminin sonsuz sayda həlli vardır. Həllin həllərdən 0 olmayan hər hansı bir həlli götürülüb
(9)
Funksiyaları quraq. funksiyalrından hər biri (7) tənliyinin həlli olduğundan hər biri (7) tənliyinin həlli olduğundan(9) funksiyası da parçasında (7) tənliyinin həllidir. (8) sistemindən görünür ki, (9) bərabərliyi ilə təyin olunan həll
(10)
Başlanğıc şərtlərini ödəyir. Digər tərəfdən (10) başlanğıc şərtlərini funksiyası da ödəyir. (7) tənliyi üçün həmin varlığı və yeganəliyi teoreminin bütün şərtləri ödənildiyindən, deməli
(11)
Digər tərəfdən ləri heç olmazsa biri 0-dan fərqli olduğundan (11) bərabərliyi funksiyalarının xətti asılı olduğunu göstərir. Bu isə teoremin şərtinə ziddir. Deməli üçün

Qeyd.Nəzərə almaq lazımdır ki, teorem yalnız (7) tənliyinin həlli olan xətti asılı olmayan funksiyalar üçün doğrudur. Beləliklə xətti asılı olmayan funksiyaların vronek determinantının 0-dan fərqli olması hökmünü verək olmaz.