U dalaboyev vektor va tenzor

3.2. Oqim tushunchasi va uning yozilish shakllari
Vektor maydonning orientirlangan 
a
sirtdan o‘tadigan oqimi deb
Q = \\{a,n)da = \\a nda
(3.2)
formuladan aniqlanadigan miqdorga aytiladi.
Bu formulada 
n
simvol bilan 
a
sirt normalining orti belgilangan, 
an
esa 
a
vektorning 
n
normal vektoryo'nalishidagi proeksiasini bildiradi 
(3.4-rasm ).
Sirtning orientasiyasi o'zgarganda 
n
vektorni 
-n
vektorga almash- 
tirish kerak, ya'ni oqim ishorasini o‘zgartiradi.
Oqimning yozilish shakllarini keltiramiz.
1) 
a , p , y
orqali 
n
vektoming mos ravishda 
0 x ,0 y ,0 :
koordinata 
o'qlari bilan hosil qilgan burchaklarini belgilaylik. U holda 
cosar, cos/J, cosy yo‘naltiruvchi kosinuslar 
n
vektorning komponentalari 
bo'ladi: 
« = {cosar,cos/?, 
cosy}.
Agar 
a = {ax,ay,a,}
boMsa, oqim 
formulasi
31
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(3.3)
Q
= 
jj(a,n)der
=J| 
(ax cosa + af cosfl + a, cos y)d a
a
a
ko‘rinishda boMadi.
2) yuza elementi 
d a
ni va uning 
Oxy
tekislikdagi proeksiyasi 
d a ^ n i
ko'raylik (3.5 - rasm). 
d a
bilan 
Oxy
tekislik orasidagi burchak
ularning normal vektorlari 
n
va 
k
orasidagi burchak bilan bir xil, ya’ni 
Y
ga teng. Shuning uchun
cos 
yd a
= 
pr0xf.da = d a
^ .
Xuddi shuningdek,
cos
p d a
= 
p r ^ d a
= 
da a , cosada
= 
pr()>.d a
= 
d a >z,
boMadi. U holda,
Q = 
j j (ax
 cos 
a
+ 
av
 cos 
P + 
a.
 cos 
y)d a
 = j j
axd a yz 
+ 
ayda^. 
+ 
a^da^.
 
(3.4)
a 
a
3 ) 
yuza elementi vektorini kiritaylik: 
d d = { d a ^ , da^., d a ^ } .
U hol- 
da (3.4) ga ko‘ra
Q
= 
JJ 
(ax
cosar 
+ay
cos 
P + 
a, cos y)d a
= 
jj( a ,d a )
a
a
formula kelib chiqadi.
Shunday qilib oqimni topish formulalarini
Q =
 
JJ 
(a,n)da
 = 
JJ 
add
 
=J[ 
a„dafZ 
+ 
ayda„
+ 
a.daxy
 
(3.5)
a 
a 
a
ko‘rinishda yozish mumkin.
Oqimning (3.5) formuladagi 1- va 2- shakli oqimning vektor 
shakli, oxirgisi esa uning koordinatalardagi shaklidir.
Vektor maydon oqimining asosiy xossalari:
• Sirtning orientasiyasi o'zgarganda oqim ishorasi teskariga 
o‘zgaradi:
JJ 
(a,n)da
= 
-JJ 
(a ,n )d a
.
a* 
a~
Bu yerda a
sirtning 
n
normali bo‘yicha tanlangan tomon, 
a~
esa <
t
sirtning 
- n
normali bilan tanlangan tomoni.
• Oqimning chiziqli xossasi:
jj( a a + pb ,n )d a = a jj(a ,n )d a + p jj(b ,ii)d a
a 
a 
a
•
Additivlik xossasi:
Agar sirt bir necha sirtlardan iborat bo‘lsa 
a lta 2
....
a m
u holda oqim
har bir sirtdan o'tadigan oqimlar yig‘indisiga teng:
32
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2
 = Z j j ( s >»)d
*•=' 
at
3.3. Oqimni hisoblash
Oqimni hisoblashning bir necha usullari bilan tanishamiz.
l)o q im n i 
Q = jj(a,fi)dcr 
form ula yordamida hisoblash.
ff
Oqimni bu formula bo'yicha hisoblashda 
(
a j
/1) 
va 
d
ni hisoblash ■
kerak. Agar sirt tenglamasi 
z 
= 
:(x,y)
ko'rinishda berilgan bo'lsa,
d a
= 
y j\
+ 
(:'xf
+ 
(:'xfd x d y
ga teng bo'ladi.
1- 
misol.
Koordinatalar boshiga joylashtirilgan 
q
zaryad 
kuchlanganlik 
E = ^ r
maydonini hosil qiladi. Bu maydonning markazi
r'
koordinatalar boshida joylashgan radiusi 
R
ga teng boMgan sfera sirtidan 
o‘tuvchi oqimni toping. Normal vektor koordinata boshidan chiqqan.
O Sferaga o‘tkazilgan « normal birlik vektor 
r
radius vektorga
kollinear 
boMgani 
uchun 
« = -
boMadi. 
U 
holda
r
= 
= 
=-^-. 
Sfera 
sirtida 
r 
= 
R
boMgani 
uchun
(E ,n\ 
= - ^ .
Sfera sirtining yuzi 
a
= 
AnR2
.
Shuninguchun 
R
Q
= ff 
(E ,n)da
= -^-ff 
d a = - ^ a = - ^ A n R 2 = A nq.<
ff 
O
2 
-
misol. a 
= 
x i 
— 2yj + 
:k
vektor maydonning 
x 
+ 
2y 
+ 
3: = 6
tekisligining birinchi oktantada joylashgan 
yuqori qismi bo‘yicha oqimni hisoblang.
O 
x 
+ 
2y + 
3: = 6
tekisligining tengla-
masini kanonik shaklga keltirib shaklini
chizamiz: 
- + — + - = {
(3.6-rasm ).
6 
3 
2
Tekislikning normal vektorini aniq-
i 
• . - 
1 v 
2 - 
3 .-
laymiz. 
n =
-
p
—
-/ 
h
—==■ / + 
.< <
k
V l4
V l4
V l4
33
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

a
vektor oqimini 
Q = jj(a,n)dcr
formula bo‘yicha hisoblaymiz
a
bu yerda
Q - [
f 
{aJi)do
= 
JJ (Jt -
+ 3r 
)d a ,
= j(6 -jf-2 y ), 
da =. 
+
(r;)2 + 
(z'yf dxdy =
Shunday qilib,
i 
i 
3 
6 - 7 y
Q = -[ [ { x -A y + 6 -x-2 y)d xd y = -[[{6-2y)dxdy = l[dy
J 
(l-y)d x =
3<%. 
o 
o
3
= 2J(1 -
y)(6- 2y)dy =
0 .◄ 
o
2) oqimtti uch tekislikka proeksiyalab hisoblasit
Oqimni 
hisoblashda 
Q = [[ °xdar_ +
0
^
0
^
+ 
azdaxy
formuladan
a
foydalanamiz. Bu yerda uchta
h=[[axdop , I2
= J
[ a / o a ,
/3 
^ [ [ a j o ^
e 
a 
o
integrallami hisoblaymiz.
/[ = 
[[aJx^y^dcTy.
integralni hisoblash uchun:
<
T
1) 
integral ostidagi funksiyada 
x
ni sirt tenglamasini jr = jr(y,r) bilan 
almashtiramiz.
2) 
dcr>7 = pr)0.do
boMgani uchun 
dc
r>7 =
+dydz, 6 < n l
2, 
-d)’cb, 6 > n!2,
0, 
6 = n! 2,
3) crw proyeksiya bo'yicha ikki karrali integralni hisoblash.
Bu yerda 
6
normal 
n
bilan 
Ox
o‘qi orasidagi burchak.
I2 = [[av(x,y,:)doa
integralni hisoblash uchun esa:
a
l)integral ostidagi funksiyada 
y
ni sirt tenglamasi 
y = y(x,z)
bilan 
almashtiramiz.
2) 
da^ = prx0ldo
boMgani uchun 
doa =
+dxdz, X
-dxdz, k>Jt! 2,
0, 
X = Jtl2,
34
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3) 

proeksiya bo‘yicha ikki 
karrali integralni hisoblash.
Bu yerda 
X
normal 
n
bilan 
Oy
o‘qi 
orasidagi burchak.
/3 integral ham shu tarzda hisob- 
lanadi.
3- misol. a = {y\y,:* -x*}
vektor 
maydonning 
x 1
+ / =9 (0 £ r£ 5 ) silin- 
dming yon sirtining tashqi tomonidan 
o‘tuvchi oqimini toping (3.7 - rasm).
[> Oqimni hisoblash uchun (3.5) formuladan foydalanamiz.
Q =
± |j
axdyd:
+ 
axd:dx
+ 
axdxdy = ijjy'dyd:
+ 
yctdx
+ (r4 - jr4 
jdxdy.
s 
s
1) 
avval 
lx= ±jjyidy±
integralni 
hisoblaymiz. 
Silindming
S
tenglamasi 
x = +sj9-y2
bo‘lgan 5, qismida tashqi normal bilan 
x
o‘qi 
orasidagi burchak o‘tkir burchak boMgani uchu integral ishorasini «+» 
ishorasi bilan olamiz. Silindr tenglamasi 
x = - J 9 - y2
ko'rinishda bo‘l- 
gan 
S2 
qismi uchun tashqi normal bilan x o‘qi orasidagi burchak o‘tmas 
burchak bo‘ladi, shuning uchun integralning bu qismida «-» ishorasi 
bilan olamiz.
/ , = J J
y dydz + jjy 'd y d : =
 J J
y?dydz - j j y'dyck =
 0 .
■s, 
s , 
or 
or
2) /2 = ±JJ
ydydz
integralni hisoblaymiz. Silindming tenglamasi
S
y =
+V9-x3 boMgan 
S}
qismida tashqi normal bilan 
y
o‘qi orasidagi 
burchak o‘tkir burchak boMgani uchun integral ishorasini «+» ishorasi 
bilan olamiz. Silindr tenglamasi 
y = -s]9 -x1
ko'rinishda boMgan 
S4
qismi uchun tashqi normal bilan v o‘qi orasidagi burchak o‘tmas bur- 
chak boMadi, shuning uchun integralni bu qismida « - » ishorasi bilan
olamiz. 
____
____
/ 2 = J J
< j9-x2dxd:
 + J J
y ]9 -x 2dxd: =
.v, 
s4
= 
j j
s l9 - x 2dxd:
 + J J
l - ' j 9 - x 2\(-dxd:)
 = 2 J J
\ l 9 - x 2dxd:
or 
Dr
' 
or
3.7 - rasm
35
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Oxirgi integralni takroriy integralga keltirib yechsak /2 = 45* kelib 
chiqadi.
3) /3 = ±JJ(r4-jc4)«j6rrf>' integralni hisoblaymiz. 
Oz
o‘qi bilan silindr-
S
ning tashqi normali bilan /r/2 burchak tashkil qilgani uchun 
/3 = 0 
boMadi. Shunday qilib £?=/, + /j + /3 = 45;r boMadi. ^
3.4. Vektor maydon divergensiyasi
Maydon divergensiyasi vektor maydonning muhim xarakteris- 
tikalaridan biridir. Faraz qilaylik, biror G sohada 
a = axT + a j + a,k
vektor maydon berilgan boMib, barcha o‘zgaruvchilar bo‘yicha uzluksiz 
birinchi tartibli xusussiy hosilalarga ega boMsin.
Ta'rif. 3(M) vektormaydonningdivergensiyasideb
. . .
dat 8a 
ca
8x 
d}; 
dz
munosobat bilan aniqlangan skalyar miqdorga aytiladi.
Vektor ntaydoni divergensiyasining asosiy xossalari:,
• div(a + £) = diva + div£
• agar 
c = const,
ya’ni o‘zgarmas vektor boMsa, u holda divc = 0 
boMadi.
• div(w,5) = w-diva+(a,gradK), bu erda 
u = u(x,y,z)-
skalyar
funksiya.
Birinchi va ikkinchi xossalami tekshirish qiyin emas. Uchinchi 
xossaning isbotini keltiramiz.
div(w • 5) =
S(u-ax) ^
8x
8(a ■
 a
y) 
dy
8(u
• 
a
, )
ct
a,cu 
a d u
a.8u 
( 8a
cx