U dalaboyev vektor va tenzor

Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
x1 
v2
1. 
r={x,v}
vektor maydonning — + ^ = 1 ellipsning yuqori
a 
b
qismidan (0
,b)
nuqtadan 
(a,
0) nuqtaga siljishdagi bajargan ishini toping.
2. 
a = {x2,y2,: 7}
maydonning 
A(0,
0,0) nuqtadan 
B(
1,1,1) to‘g‘ri chiq 
bo‘ylab siljishdagi bajargan ishini toping.
3. 
a = {2x:,—y,:}
maydonning 
x+ y+ 2: = 2
tekislikning koordinata 
tekisliklari bilan kesishishidan hosil boMgan yopiq kontur bo‘yicha 
sirkulyatsiyasini hisoblang. Yopiq kontumi aylanib o‘tish 
x-+ y ^ > :-v x
bo'yicha.
4. 
a = {y7,:2,x2}
vektor 
maydonning 
x2 + y 2 + : 2
= 
R2
va 
x2 + y2 = R:
(r > 0) sirtlarning kesishishidan hosil bo'lgan kontur bo‘yicha
sirkulyatsiyasini hisoblang. 
kr
5. £ = — maydonning rotorini toping (k - koeflfitsiyent).
65
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

6. 
rot(r,c)r 
= [c,r] tenglikni isbotlang. Bu yerda c o‘zgarmas 
vektor.
7. 
a = {y,x2,-z}
vektor 
maydonning 
L
kontur 
bo‘yicha 
sirkulyatsiyasini 
(L :x7 + y 7 = R \ : = oj
(kontumi ayianib chiqish o ‘ng 
qo‘l qoidasi bo'yicha) Stoks formulasida hisoblang.
5. Maxsus vektor maydonlar.
Vektor maydonning takroriy amallari. Nabla operatori
• 
Potensial maydon.
• Solenoidal maydon.
• 
Garmonik maydon.
• 
Vektor maydoitning takroriy amallari.
• 
Nabla operatorL
5.1. Potensial maydon
a(ax,a,,a.)
vektor maydon berilgan bo‘lib, uning komponentalari 
uzluksiz va hosilalari mavjud bo'lsin.
Agar 
a
vektor maydon biror skalyar maydon 
U
ning gradient 
maydoni bo'lsa, ya’ni « = gradC/ boMsa, 
U
funksiyaga 
a
vektor 
maydonning potensiali deyiladi.
grad(C/ + C) = gradt/ boMgani uchun 
U + C
fiinksiya ham potensial 
boMadi.
Potensial maydon xossalari:
1) 
a
vektor maydon 
U
potensialga ega boMishi uchun 
(a,dr)
= 
dU,
2) bir bogMamli sohada 
a
potensial maydon boMishi uchun 
rota = 0,
3) potensial maydonda 
j(d,dr)
chiziqli integral integrallash
L
shakliga bogMiq emas,
4) potensial maydonda maxsus nuqtalami o‘z ichiga olmagan 
ixtiyoriy kontur bo‘yicha sirkulyatsiya nolga teng,
5) potensial maydonda barcha maxsus nuqtalami o‘z ichiga olgan 
konturlar bo'yicha sirkulyatsiyalar o ‘zaro teng,
66
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

6) 
Potensial maydonda yoy bo'yicha olingan chiziqli integral 
potensiallaming yoy oxiri va yoy boshi nuqtalarining ayirmasiga teng.
Bu xossalami tekshiramiz.
1) 
a
potensial maydon bo'lgani uchun 
5 
= gradt/
= 
{t/',t/',t/'}.
(adr)
= 
({U'„u;,U:},{dx,dy,d-}) = U'cdx + U'ydy + U'Idi = dU.
2) bu xossa 1) xossa, teorema 4.3 va 4.2 dan kelib chiqadi.
3) bu xossa 1) xossa, teorema 4.3 dan kelib chiqadi.
4) bu xossa 2) xossa, teorema 4.2 dan kelib chiqadi.
5) 
L
va / barcha 
Px,Plt...,Pn
maxsus nuqtalarni o‘z ichiga oluvchi 
kontur boMsin. Kontur orinentasiyasi shunday olinadiki 
a
sohani aylanib 
chiqishda u chapda qolsin, ya’ni 
L
soat meliga qarshi 
l
soat meli 
bo‘yicha (5.1 - rasm). Bunday orintasiyali konturlarni 
L*,l'
bilan 
belgilaymiz. Konturi y = T u / ' chiziqlar bilan chegralangan 
a
sohada 
maydon potensialli. Shuning uchun 3) xossa va 4.2 teoremaga ko‘ra