U dalaboyev vektor va tenzor

AXU= j (d,dr)~ j (a,dr) =
MJA, 
U JA
j (d,dr)+ j (a,dr) -
J
(3,4F)= 
J 
(a,dr).
M^M 
MM{
J M^M 
MMX
MMy 
kesmada faqat 
x  
ozgaruvchi, 
y  
va 
z  
4.12.-rasm 
lar o‘zgarmasIigini inobatga olsak, 
dy = 0,dz = 0
boMadi va integralni koordinatalar shaklida quyidagicha yozamiz
x+tx
AXU = 
J 
(adr) = 
J 
axdx + aydy + a.dz= 
J 
axdx
MM, 
MM, 
x
Oxirgi aniq integralga o‘rta qiymat haqidagi teoremani qoMlaymiz:
x*6x
AXU= j ax(x,y,:)dx = ax(x,y,:)Ax,
M
____Mj
:
x+ A x x
62
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Buyerda xe[jt,*+Ax]. U holda
U' = lim 
= lim a*(*,-*',~)^x _ |jm a (x,y,:) = a (x,y,z).
1 
Ar-KI Ax 
»H0 
Ax 
A r-tO
r '
'
rV
Shunday qilib, 
U't = ax(x,y,z).
Xuddi shuningdek,
U" =a {x,y,=), U'. =ar(x,y,:).
ekanligini ko‘rsatish qiyin emas. U holda, 
(a,df) = atdx
+ 
aydy
+ 
atd= = Utdx
+ 
U'ydy
+ 
U\dt = dU
boMadi.
Yetarligi. (
a,dr)=dU
o‘rinli boMadigan 
U
funksiya mavjud
boMsin. Parametrik tenglamasi
x = x(t), y = y(t), : = : (t); te[tA,tB]
ko‘rinishda boMgan 
AB
yoyni olaylik. Unda,
J 
(d,df)=
J 
dU(x,y,-.) =
}
dU(x(t),y(t),:(t))
= t/(x(0,v(0,-'(0)[; =
k j
AB 
\
j
AB 
tA
= b (xB,
vs 
,:B)-U (xA,yA,:A) = U(B)~ U(A),
boMadi. Shuning uchun 
§(a,df)
integralning qiymati faqat 
A
va 
B
L
nuqtalargagina bogMiq boMib uning shakliga bogMiq boMmaydi.
Isbotlash jarajonida biz chiziqli integral uchun Nyuton-Leybnis 
formulasini eslatuvchi formulani ham keltirib chiqardik.
J 
dU =U(B)-U(A).
(4.10)
\
j
AB
Yuqorida keltirilgan teoremalardan quyidagi qoidani keltirish 
mumkin.
Agar 
D
soha bir bogMamli boMsa, quyidagi shartlar bir-biriga teng 
kuchli:
• J
(a,df)
chiziqli integral integrallash yoliga bogMiq emas;
L
• J(5,dF) chiziqli integral 
D
da joylashgan ixtiyoriy yopiq kontur
c
bo‘yicha integral nolga teng;
•D
sohaning barcha nuqtalarida rota = 0 boMadi;
• (a,df)
ifoda biror 
U
funksiyaning toMiq differensiali boMadi. 
\-misol.
Ushbu
J (2
xy
+ 
: 2 )dx
+ 
(x2
+ 
:)dy
+ 
(y
+ 
2x:)ck
L
chiziqli integral integrallash yoMiga bogMiq boMish-boMmasligini 
tekshiring.
63
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

> Buning uchun 
a = {2xy + z2,x 2 + z, y + 2x=}
vektoming rotorini 
hisoblaymiz
rot5 =
i
j
i<
d
8
8
8x
8y
8z
2x + z2 x2 + z y + 2xz
= (1 - l)r 
+(2z — 2z)j + (2x - 2x)k
= 0;
Shuning uchun berilgan chiziqli integral integrallash yoMiga bogMiq 
boMmaydi.
Chiziqli integral integrallash yoMiga bogMiq emas. 
4
2-misol. a
= 
^jl + x2 +y2i + y[x}- +
ln(jc + 
J l + x2 + y 2
)]J
vektor maydonning 
L: x2+y2=R2
kontur bo‘yicha sirkulyatsiyasini 
toping.
[> Sirkulyatsiyani
C = y]l + x2 + y 2dx+ y xy + \n(x + yjl + x2 + y2
jj
dy
Grin formulasida hisoblaymiz.
8a,
_
dy 
~ J [ + x
2
+ v
2
 
ox
3a 
,
, ^ r = y 2+-
i+
l 
T '+ x + y ‘
= y + y
1 + 
x2
+ 
y L & 
x
+ 
+ 
x2
+ 
y 2
( j \ + x2 + y 2+x) 
2 
y
y j l
+ x2 +
y2 
(x + J\ + x2 + y 1) 
\j\
+ 
x2 + y2
y +
+ 
x2 + y 2 
y j l
+ x2
+ 
y
dxdy
=
= J j y 2dxdy= j d
 
sinJ 

 =
j -
—
C° S^ d p j p ld p =
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Tayanch iboralar:
Kuch maydoni; egri chiziqli integral; yopiq kontur bo'yicha olingan 
egri chiziqli integral, vektor maydon uyurmasi; Grin va Stoks formu- 
lalari.
Takrorlash uchun savollar
1. Kuch maydonining bajargan ishi qanday topiladi?
2. Chiziqli integral qanday xossalarga ega?
3. Chiziqli integralning vektor shakli qanday ko‘rinishda bo'ladi?
4. Chiziqli integralning koordinatalar shakli qanday ko‘rinishda 
bo‘ladi?
5. Sirkulyatsiya nima?
6. Vektor maydon uyurmasi qanday hisoblanadi?
7. Uyurmaning aanday xossalar mavjud?
8. Grin formulasi qanday boMadi?
9. Stoks formulasi qanday ko'rinishga ega?
10. Rototming invariant ta'rifi nima?
11. Chiziqli integralni integrallash yoMiga bogMiq emasligini 
qanday izohlaysiz?
12. Qanday shartlarda chiziqli integral integrallash yoMiga bogMiq 
emas?