U dalaboyev vektor va tenzor

2 y l - z j
+ 
2xk
dan quyidagi sistemaga kelamiz.
& 
ct 
ax 
Sy 
v 
7
(5.5) 
ning birinchi va ikkinchi tengliklarini 
z
bo'yicha integral- 
laymiz.
b7
= - J
2 y ±
= - 2 jc + v**, y),
_2
A i = J - r < f c = - y
+ t ( r ( x ,y ) .
Bulami (5.5) ning uchunchi tenglamasiga qo‘yamiz
i t - i t r * v ’^ y ) - ^ x , y )
=
2x.
ox 
cy
Bu tenglikni qanoatlantiruvchi 
y/(x,y) = Qy 

ko'rinishda 
olsa bo'ladi. Unda vektor potensial
b
= 
{6„^,0} 
= 
| - y , - 2 
yz
+ 
x1 
fi
ko‘rinishda bo'ladi. 
4
5.3. G arm onik maydon
Garmonik skalyar maydon.
A g a r/ skalyar maydon
div(grad/ ) = 0
Laplas tenglamasini qanoatlantirsa bunday maydon 
garm onik
maydon 
deyiladi.
Laplas tenglamasining o‘ng tomonidagi ifodaga Laplas operatori 
deyiladi va A
f
ko‘rinishda belgilanadi.
Dekart koordinatalar sistemasida Laplas tenglamasi
A f = / ; + / ; + / » = o ,
ko'rinishda bo'ladi.
Misol. f(r ) = j  
funksiyaning 
R}
da, 
f( r ) = \nr
funksiyaning 
da 
garmonik boMishini ko'rsating.
72
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

O 
l)Gradientxossasigako‘ra grad- = ^ i j
Divergensiya xossasiga ko‘ra 
div^gradij = d i v ^ r
j = 
- ^ d i v r
+ 
^ .g ra d -j 
j j.
. 
1 
r 
r
grad/- = —
j — =
—
j.
r r 
r
r={x,y,:}
uchun 
R3
da divr = 3 ekanligini va grad-i = - i - dan
r 
r r
bo‘ladi.
2) y?j da 
f(r) = \nr
maydon uchun
grad ln 
r
= (ln 
r)'
grad
r = 
r = {x,y},
divr = 2, ■
div(grad In 
r) =
d i v ^ r j = ^jdivr + ^r 
, g r a d \
j = -i- + ^r , ^ - j = 
0
."
Garmonik vektor maydon
Agar 
a
vektor maydon bir vaqtda ham potensial ham solenoidal 
bo'lsa bunday maydonlarga 
garmonik
vektor maydonlar deyiladi.
Garmonik vektor maydonning xossalari.
1) 
garmonik vektor maydon skalyar va vektor potensialga ega 
boMadi.
2) u skalyar potensial garmonik funksiya boMadi.
3 )
garmonik vektor 
a = {aItay,az}
maydon uchun uning komponen- 
talari 
ax,ay,a.
garmonik funksiyalar boMadi.
Bu xossalami tekshiramiz.
1) birinchi xossa ta'rifdan kelib chiqadi. Chunki potensial maydon 
skalyar potensialga ega boMadi, solenoidal maydon esa vektor 
potensialga ega boMadi.
2) 
garmonik 
5
maydon potensial maydon boMgani uchun skalyar 
U
potensial mavjud va a = gradt/ ko‘rinishda boMadi. Ikkinchi tomondan 
garmonik maydon solenoidal boMadi, shuning uchun
divfl = div(gradCZ) = 0
boMadi. Shuning uchun garmonik 
a
maydonning potensiali 
U
Laplas 
tenglamasini qanoatlantiradi va garmonik funksiya boMadi.
73
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3) 
garmonik 
a 
=