Xosmas integrallar. Chegaralari cheksiz xosmas integrallar. Chegaralanmagan funksiyalarning xosmas integrallari. Xosmas integrallarning yaqinlashish alomatlari

5.2. II tur xosmas integrallar. Endi chegaralanmagan funksiyalar uchun aniq integral tushunchasini umumlashtiramiz. Berilgan y=f(x) funksiya (a,b] yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a+ε,b] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda 

funksiyani qarash mumkin.

5-TA’RIF: F(ε) funksiyaning ε→0+0 holdagi o‘ng limiti berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali deb ataladi.

Berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali quyidagicha belgilanadi va aniqlanadi:

 

(8)

limitga aytiladi.

6-TA’RIF: Agar (8) limit mavjud va chekli bo‘lsa, u holda II tur xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Aks holda bu xosmas integral uzoqlashuvchi dеb ataladi.

Misol sifatida ushbu II tur xosmas integralni ko‘ramiz:

 

(9)

 

I va II TUR XOSMAS INTEGRALLAR

I va II TUR XOSMAS INTEGRALLAR

Bu yerda uch holni qaraymiz.

• Dastlab 0<α

Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati b1–α .

2. Endi α=1 holni o‘rganamiz:

 

Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

3. α>1 holni qaraymiz:

 

Demak, bu holda ham (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

 

I va II TUR XOSMAS INTEGRALLAR

Shunday qilib, (9) xosmas integral 0<αy=1/xα , x=0, x=b>0, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shaklning S yuzasi 0<αS= b1–α (keyingi betdagi 85-rasmga qarang), α≥1 holda esa bu shakl yuzasi cheksiz bo‘lar ekan.