1 Evklid və Laboçevski həndəsəsinin aksiomlarının eyniliyi və fərqləri

1) Evklid və Laboçevski həndəsəsinin aksiomlarının eyniliyi və fərqləri

Hər şeydən əvvəl “əlaqə aksomu”na baxaq əlaqə aksiomu özündə əsas obyektlər arasında “daxil olma”nı cəmləşdirir. Bu həmçinin “yerləşir”, “keşir” münasibətlərini bildirir. I. Əlaqə aksiomlarının şərhinə keçək:

I.1. Hər bir üst-üstə düşməyən iki nöqtədən bir və yalnız bir düz xətt keçir.

I.2. Hər bir düz xətt üzərində ən az iki nöqtə yerləşir.

I.3. Bir düz xətt üzərində yerləşməyən ən azı üç nöqtə var.

I.4. Bir düz xətt üzərində yerləşməyən üç nöqtədən müstəvi keçir və yalnız biri keçir. I.5. Hər bir müstəvi üzərində ən azı bir nöqtə yerləşir.

I.6. Əgər hər hansı −a düz xəttin iki nöqtəsi d müstəvisinə daxildirsə, onda −a düz xətti də  - müstəvisinə daxil olar.

I.7. Əgər iki müstəvi bir ortaq nöqtəyə malikdirsə, onda onlar daha ən azı bir ortaq nöqtəyə də malikdirlər.

I.8. Bir müstəvidə yerləşməyən ən azı dörd nöqtə var.

Qeyd I.1.3.aksiomundan alınır ki, fəzada bir düz xətt üzərində yerləşməyən ən azı üç nöqtə var. Deməli, fəzada nöqtələr çoxluğu və I.2., I.4. aksiomlarına əsasən düz xətlər və müstəvilər çoxluğu boş deyil

II. Aksiom 1.8.-dən çıxır ki, fəzada birdən çox müstəvi var, I.3. aksiomundan çıxır ki, fəzada birdən çox düz xətt var.

III. Əgər müstəvidə həndəsə qurmaq lazımdırsa (planimetriya) onda yalnız 1.1-3 aksiomlarından istifadə etmək kifayətdir.

IV.I.8.aksiomundan çıxır ki, öyrənmək istədiyimiz fəza üç ölçülüdür.

Əlaqə aksiomlarından alınan bəzi teoremlərə nəzər salaq.

Teorem1. A nöqtəsindən və bu nöqtədən keçməyən −a düz xəttindən yeganə müstəvi () keçir.

İsbatı. I.2. aksiomuna görə −a düz xəttinin iki B və C nöqtələri var. A, B,C bir düz xətt üzərində yerləşmirlər, ona görə də I.4. aksiomuna görə bu nöqtələrdən yeganə () müstəvisi keçirmək olar. Teorem isbat olundu.

Teorem 2. Əgər iki müxtəlif −a və −b düz xətləri ortaq A nöqtəsinə malikdirsə, onda onlardan yeganə müstəvi keçər.

İsbatı. I.2. aksiomundan Çıxır ki, −a və −b düz xətlərinin D A nöqtəsindən başqa M və N nöqtələri var. M və N nöqtələri müxtəlifdirsə, A , M , N nöqtələri bir düz xətt üzərində yerləşmirlər, əks halda −a və −b düz xətləri 1.1 aksiomuna görə üst-üstə düşərdilər. 1.4.aksiomuna görə A , M , N nöqtələrindən yeganə müstəvi keçir. Teorem isbat olundu.

Teorem 3. Hər bir müstəvidə ən azı üç nöqtə var.

II. Qayda (cərgə) aksiomları. Qayda aksiomları nöqtələrin bir düz xətt üzərində yerləşməsini təsvir edir. Bu (əlaqəni) münasibətləri təsvir etmək üçün “arasında” terminindən istifadə olunur. İndi isə qayda aksiomlarının şərhinə keçək.

II.1. Əgər A, B,C üç nöqtə üçün məlumdursa ki, “arasında” münasibəti ilə bağlıdır, onda A, B,C nöqtələri bir düz xəttin nöqtələridir. Bundan əlavə, əgər B nöqtəsi A və C nöqtələrinin arasında yerləşirsə, onda o həm də C və A və B nöqtələri arasında yerləşər.

Əgər A, B,C yazılışı B nöqtəsinin A və C arasında yerləşməsini bildirirsə, onda

II.2. Əgər A və C nöqtələri AC düz xətti üzərində nöqtələrdirsə, onda elə B nöqtəsi var ki, C nöqtəsi A və B nöqtəsi arasında yerləşər.

II.3. Bir düz xətt üzərində yerləşən ixtiyari üç nöqtə arasında ən çoxu biri digər iki nöqtə arasında yerləşər. Deyəcəyik ki, A və B nöqtələr cütü AB parçasınıi təyin edir. A və C nöqtələrini parçanın ucları adlandıracağıq. A və B nöqtələri arasında yerləşən bütün nöqtələrə A B parçasının daxili B nöqtələri deyəcəyik, A B düz xəttinin digər nöqtələrinə A B parçasının xarıcı nöqtələri deyəcəyik.