Mövzu 1: Ekonometrika fənninin predmeti, obyekti və həll edəcəyi məsələlər



Yüklə 0,55 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə1/4
tarix04.12.2019
ölçüsü0,55 Mb.
  1   2   3   4

Mövzu - 1: Ekonometrika fənninin predmeti, obyekti və həll edəcəyi məsələlər

“Ekanometrika” sözü 2 hissədən ibarətdir: ”ekono” və “metrika” hansı ki, iqtisadi

ölçmələri göstərir. Bu termin 1930 – cu ildə Norveç alimi, statistiki Riqnar Frişer

tərəfindən meydana gəlmişdir. Hansı ki, Ekonometrikanın əsas məsələsini iqtisadi

nəzəriyyənin inkişafı, onun statistika və riyaziyyatla əlaqəsini təşkil edir.

Müasir dövrdə ekonometrikanın aşağıdakı  şəkildə tərifi ümumi qəbul edilmişdir.

Ekonometrika real təsərrüfat iqtisadi proseslərin nəzəi modelini tərtib etmək üçün riyazi

statistikanın metodlarından istifadə edən bir elmdir.

Ekonometrikanın obyekti cəmiyyətin iqtisadi sistemində baş verən iqtisadi

proseslərdir. Ekonometrikanın predmeti təsadüfi hadisələr əsasındakı qarşılıqlı  əlaqəni

kifayət qədər qiymətləndirməkdir. Eyni zamanda iqtisadi sistemlər haqqında məlumat

almaq üçün təsadüfi əlamətlər, göstəricilər, faktorlar, dəyişən iqtisadi obyektlər, real

iqtisadi modellərin nəzəri yoxlanmasını təmin edir.

Ekonometrikanın məqsədi təsadüfi proseslərin reallaşmasında iqtisadi sistemin

obyektlər toplusunun nöqtəvi və interval məlumatların qiymətləndirilməsidir.

Ekonometrikanın məsələləri:

1. Strateji məsələlər

a) Iqtisadi modellərdən effektiv istifadə üçün şəraitin yaradılması

b) Məlumatın dəqiqliyini artıran iqtisadi metodların təşkili (yaradılması)

c) Ən kiçik kvadratlar metodunun tətbiqində pozuntuların orta əmsallarının

hesablanması modelinin metodunun düzəldilməsi

d) Ekonometrikanın effektiv istifadə oblastının təyini

2. Taktiki məsələlər

a) Iqtisadi obyeklərin xassələrini nəzərə almaqla riyazi modelin qurulması

b) Iqtisadi proseslərin riyazi modelinin əmsallarının təyini

c) Iqtisadi proseslərin nöqtəvi və interval məlumatlarının alınması

d) Alınan modelin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsinin hesabı

Ekonometrikanın metodlarını aşağıdakı əlamətlərə görə siniflərə ayırmaq olar:

1) Regressiyanın əmsalının təyini metodu ilə;

· Ən kiçik kvadratlar metodu ilə

· Ən kiçik kvadratların iki addımlıq yolu ilə

· Ən kiçik kvadratların ümumiləşmiş metodu (Eytken metodu) ilə

· Maksimal düzgün oxşarlılıq metodu ilə

· Ən kiçik yayınma və məsafə metodu ilə

2) İqtisadi obyektin fəaliyyət modelinin qurulması metodu:

· Yuxarıdan aşağı və aşağıdan yuxarı modelinin qurulması

3) Baş toplunun verilənlərinin seçim metodu

· Bütün baş toplunun analizi

· Baş toplunun analizinin seçim metodu

downloaded from KitabYurdu.org



4) Seçim verilənlərin analizi metodu

· Korrelsiya analizi metodu

· Reqressiv analiz metodu

· Araşdırılan, asılı dəyişənlərin və qalıqların iştirakı metodu

· Saxta, instrumental dəyişənlərin iştirakı ilə metod

· Qeyri – xətti reqressiyanın xəttiləşdirilməsi metodu

· Multikollinar faktorların aradan qaldırılması metodu; qalıqların avtokorrelyasiyası;

· Daimi olmayan sıraların təyini metodu

· Eynivaxtlı (sıralarla) tənliklər sisteminin analizi metodu

· Keyfiyyətli dəyişənlər arasındakı əlaqə metodu

Bu metodlarla biz sonralar tanış olacayıq.

Ekonometrikanın sturukturuna baxaq. Şərti olaraq ekonometrika kursunu 3 hissəyə

ayırmaq olar:

1) Fəzada verilənlər ilə cüt (qoşa) və cəm (çoxluq) modellərin qurulması. Bu hissə

riyazi statistikada öyrənilir.

2) Ən kiçik kvadratlar metodunun xətalarının aradan qaldırılması üsulu.

3) Müvəqqəti (daimi olmayan) iqtisadi sıraların analizi

Ekonometrika biometriya, sosiometriya, informatika ilə sıx əlaqədardır.

Riyazi statistikadan istifadə bioloji və sosioloji araşdırmalarda yeni elmlər –

biometriya və sosiometriyanı yaradır.

Bu elmlərin hər biri çoxlu sayda ümumi metoda malikdirlər. Tez – tez bu elmlər

yəni yanaşmalarla bir – birini zənginləşdirirlər. Tarixən biometriya ekonometrikadan

qabaq yaranmışdır. Buna görə də ekonometrika özündə biometrik metodları birləşdirir və

yeni fəsilləri əlavə edir, necə ki spentiral analizi, daimi olmayan (müvəqqəti) sıraların

analizi və eynivaxtlı tənliklər sisteminin həllini, məsələn, əkinə optimal şəraitin

yaradılmasının modelləşdirilməsində ümumi çoxlu şeylər var.

Mikro və makro iqtisadiyyatda ekonometrik analiz 1960 – cı ildən başlayaraq

istifadə olunur. Uzun müddət ekonometrik metodlar “Ekonomik – riyazi” metod və

modellər fənninin daxilində idi. Yaxın vaxtlardan bu ayrılaraq ayrıca bir fənn kimi

iqtisadiyyat ixtisaslarında tədris olunur.

İlk ekonometrik modellər kompleks şəkildə ABŞ – da Qoldbergerin olmuşdur.

Iqtisadiyyatın inkişafında o fundument (təməl) rolunu oynamışdır. Bu model 15 reqressiv

təhlükədən və 5 eynilikdən ibarət olmuşdur. Bu 40 makroiqtisadi göstəricini əhatə edir.

Modeli parametri daimi olmayan sıraların bazası əsasında 20 ilə qiymətləndirilmişdir.

Ukraynada ilk dəfə olaraq 1972 – ci ildə Yemelyanov və Kuşnirski tərəfindən

YKP-2 iqtisadi metrik modeli yaradılmışdır. Bu model planlaşdırma metodikası ilə

bağlıdır və 101 reqressiv tənlik və 7 qarşılıqlı əlaqəli blokları özündə birləşdirir.

Müasir dövrdə Ukraynada ekonometrik araşdırmalara maraq çoxdur. Hətta iqtisadi

proqramlaşdırma institutu mərkəz rolunu oynayır.

downloaded from KitabYurdu.org



Mövzu- 2: Riyazi proqramlaşdırma  riyazi iqtisadiyyatın tərkib hissəsi kimi

Riyazi üsullar və modellər iqtisadi nəzəriyyədə daxil olmaqla istənilən

iqtisad elminin üsulları və vasitələri məcmusunun tərkib hissəsi kimi çıxış edir.

Əsaslı iqtisadi təhlil ilə birlikdə riyai üsullar və modellərdən istifadə olunması

iqtisad elmi və praktika üçün yeni imkanlar yaradır. Onlardan iqtisadiyyatda

istifadə olunması  əvvəla iqtisadi kəmiyyətlər və obyektlər arasında daha vacib,

nəzərə çarpacaq əlaqələri aşkar edib onları ifadə etməyə imkan verir. Bu müvafiq

mürəkkəb problemlərin yüksək dərəcədə mücərrəd olması ilə əlaqədardır. İkincisi,

nəzərdə tutulmuş şərtlər daxilində dəqiq ifadə olunmuş zəruri ilkin məlumatlar və

münasibətlərdən deduksiya üsulları ilə tədqiq edilən obyektə uyğun nəticələri

almaq mümkündür. Üçüncüsü, riyazi və modellər induksiya üsulu ilə obyekt

haqqında yeni biliklər əldə etməyə imkan verir, onun fəaliyyəti prosesində

aparılmış müşahidələrə daha yüksək dərəcədə uyğun olmaqla, mövcud amillər

arasındakı asılılıq formalarını təyin etmək və müəyyənedici parametrləri

qiymətləndirmə vasitəsi kimi çıxış edirlər. Nəhayət, dördüncüsü riyazi üsullar və

modellərdən istifadə olunması iqtisadi nəzəriyyənin müddəalarını, anlayışlarını və

nəticələrini daha dəqiq və yığcam şəkildə ifadə etmək əsas verir.

Riyazi proqramlaşdırma tətbiqi riyaziyyat elminin əsas bölmələrindən biri

olmaqla, onun öyrənmə obyektini mürəkkəb sistem və proseslərin optimal

planlaşdırılması və idarə edilməsi üzrə ekstremum məsələlər təşkil edir.

Fənnin predmeti olaraq ekstremum məsələlərin tədqiqi, burada istifadə

edilən kəmiyyətlər arasında riyazi asılılıqların müəyyən olunması, müvafiq

modellərin qurulması, onların əsasında məsələ həlli üçün ən əlverişli üsul və

prinsiplərin təyini çıxış edir.

Riyazi proqramlaşdırılmanın öyrənilməsində məqsəd isə ekstremum

məsələlərinin həlli üçün riyazi üsulları və EHM – in imkanlarının ardıcıl tətbiq

etməkdən, alınmış nəticələrin hərtərəfli təhlilini aparmaqdan, optimal qərarların

işlənməsi və qəbul edilməsindən, onların praktiki tətbiqinin səmərəliliyinin

əsaslandırmasından ibarətdir.

Tərif: Riyazi proqramlaşdırmanın ümumi məsələsi müəyyən şərtlər

daxilində hər hansı funksiyanın ekstremum, yəni maksimum (“max”) və yaxud

minimum (“min”) qiymətinin təyini məsələsinə deyilir və riyazi şəkildə aşağıdakı

kimi ifadə edilir.

;              (1)

məhdudiyyət şərtləri

   (i=i,k)                       (2)

   (i=k+im)                   (3)

məchulların işarələri üzrə şərtlər

                        (4)

downloaded from KitabYurdu.org



Yazılışdan göründüyü kimi ekstremum məsələlənin riyazi şəkildə qoyuluşu,

üç əsas hissədən ibarətdir:

I. (1) məqsəd funksiyası yaxud optimallıq meyarı adlanır və onun üçün

ekstremum qiymət axtarılır.

II. Məhdudiyyət şərtləri (2) bərabərlikləri yaxud tənlikləri və (3) bərabərsizliklən

ibarətdir.

III. Məsələyə daxil olan məhculların işarələri üzərinə qoyulmuş (4) şərtləri.

Tərif  2.  (1)  –  (4)  şərtlərini  ödəyən

 vektoruna  riyazi

proqramlaşdırmanın ümumi məsələsinin mümkün həlli (planı) deyilir.

Tərif  3. (1) məqsəd funksiyasına ekstremum qiymət verən mümkün həllə

(1) – (4) riyazi proqramlaşdırma məsələsinin optimal həlli deyilir.

-

Əgər məqsəd funksiyası və bütün məhdudiyyət şərtləri



dəyişənlərinin hamısına nəzərən xətti olarsa, onda verilmiş məsələ

xətti proqramlaşdırma, əks halda isə qeyri – xətti proqramlaşdırma məsələsi olur.

-

Qabarıq proqramlaşdırma məsələlərinin həlli nəticəsində məhdud qabarıq



çoxluqda təyin edilmiş funksiya üçün minimum, yaxud qabarıq funksiya üçün

maksimum qiymət axtarılır. (Bu da qeyri – xətt proqramlaşdırma məsələsidir)

-

Qabarıq proqramlaşdırma məsələləri içərisində isə öz növbəsində daha



ətraflı olmaqla kvadratik proqramlaşdırma məsələləri tətqiq edilmişdir. Burada

kvadratik funksiyadan söhbət gedir.

-

Tamədədli proqramlaşdırma məsələlərində məhcullar yalnız və yalnız tam



ədədlərdən ibarət qiymətlər ala bilərlər.

-

Parametrin proqramlaşdırma məsələsi



-

Kəsr – xətti proqramlaşdırma məsələsi

-

Əgər məqsəd funksiyasında, yaxud məhculların mümkün dəyişmə oblastını



təyin edən şərtlərdə təsadüfi kəmiyyətlər olarsa onda belə məsələyə stoxastik

proqramlaşdırma məsələsi deyilir.

-

Riyazi proqramlaşdırma məsələsinin qoyuluşunda zaman amilindən asılılıq



olarsa, yaxud həlli prosesi çoxmərhələli, çoxaddımlı olarsa, ona dinamik

proqramlaşdırma məsələsi deyilir.

downloaded from KitabYurdu.org


                     Mövzu: İqtisadi riyazi modelləşdirmənin metodoloji əsasları

Model sözü “ölçü”, obraz”, “üsul” mənalarını verən “modus”, “modulus”

latın sözlərindən əmələ gəlmişdir.

Modelləşdirmə  elmi  tətqiqat metodu kimi bilavasitə həll edilməsi bu və ya

digər səbəblərə görə mümkün olmayan elmi və texniki məsələləri həll etmək

zərurəti ilə əlaqədar olaraq meydana gəlmişdir.

Modelləşdirmə obyektiv həqiqətə yaxınlaşma yolu kimi xidmət edir. Əgər

nəzəriyyənin yaradılması tətqiqatçı üçün müəyyən mərhələdə xüsusi məqsəd kimi

xidmət edirsə, onda model nəzəriyyəni yaratmaq üçün vasitə rolunu oynayır.

Model qurmaq, model yaratmaq  modelləşdirmə  adlanır. Kibernetikanın

meydana gəlməsi ilə  əlaqədar olaraq modelləşdirmə metodu geniş inkişaf etmiş

elm və texnikanın çox mürəkkəb məsələlərini həll etmək üçün güclü vasitəyə

çevrilmişdir.

Modelləşdirmənin bir növü də riyazi modelləşdirmədir. “Riyazi modelləş -

dirmə tənliklərinin formasının və orjinal modelin tənliklərində dəyişənlər arasında

münasibətin identikliyinə  əsaslanan xüsusi modellərin köməyi ilə fiziki hadisələri

tətqiq etmək üçün metoddur.” Riyazi modelləşdirmədə hadisələrin riyazi

məzmununun oxşarlığından söhbət gedir. Doğurdan da həyatda elə müxtəlif

hadisələr var ki, onların “riyazi məzmunu” eynidir, başqa sözlə onlar eyni

tənliklərlə təsvir edilir.

Hadisələrin riyazi məzmunun oxşarlığından istifadə edərək bir sıra

modelləşdirici qurğular yarılmışdır.

Hazırda elmi tətqiqatlarda müxtəlif növ modellərdən elektrik, hidravlik,

mexaniki və s. istifadə edilir.

Konkret prosesin və ya hadisənin ən mühüm xüsusiyyətlərini riyazi model

xarakterizə edir. Hər bir model tətqiq olunan obyektin öyrənilməsi və məsələnin

həlli üçün əhəmiyyətli olan elementləri xarakterizə edən tənliklər (bərabərsizliklər)

sistemi şəklində təsvir olunur.

Geniş mənada riyazi model dedikdə, müəyyən sistemin fəaliyyətindəki

mühüm qarşılıqlı əlaqələrin və qanunauyğunluqların riyazi şəkildə ifadə olunması

başa düşülür.

Qeyd etmək lazımdır ki, obyektin riyazi modelləri öz aralarında ölçüsünə,

istifadə olunan riyazi aparatın mürəkkəbliyinə, xarakterinə və s. görə fərqlənə bilər.

Təhlil və optimal plan qərarlarının qəbulu modelləri iki hissədən ibarətdir. Məqsəd

funksiyası (optimallıq kriteriyası) və məhdudluq şərtləri.

Məqsəd funksiyası planın effektivliyinin kəmiyyət ölçüsüdür. Optimallıq

kriteriyasının seçilməsi çox çətindir. Lakin istər qərarın qiymətləndirilməsi, istərsə

də hər hansı qərarın həqiqətən daha yaxşı olması seçilmiş və müəyyən şəkildə

ifadə olunmuş kriteridən asılıdır.

downloaded from KitabYurdu.org



Modelin ikinci hissəsi (məhdudluq şərtləri) qərarın qəbul olunduğu şəraitin

riyazi ifadəsindən ibarətdir. Bu şərtləri təmin edən qərarlardan biri mümkün plan

hesab edilir. Məqsəd funksiyasının ekstremum (maksimum və ya minimum)

qiymətini təmin edən mümkün plan optimal plan adlanır. Model qurulduqdan sonra

onun riyazi təhlili başlanır ki, bunun da əsas məqsədi optimal həllin tapılmasıdır.

Prosesi riyazi məsələ  şəklində  əks etdirmək və onun modelini qurmaq üçün

qoyulan məsəlinin mahiyyətini dərindən bilmək lazımdır. Riyazi modelin

keyfiyyəti mövcud prosesi nə dərəcədə tam və düzgün təsvir etməsindən asılıdır.

Odur ki, modelləşdirmə yalnız sistemin təhlilindən sonra başlanmalıdır. Bu zaman

modellər aşağıdakı tələbləri ödəməlidir:

1. Model nəzəriyyə  əsasında  qurulmalı, öyrəniləcək prosesin obyektiv

qanunauyğunluqlarını və tarixi xüsusiyyətləri özündə cəmləşdirməlidir.

2. Model real sistemin quruluşunu düzgün əks etdirməlidir. Hər bir dəyişəni və

sabit kəmiyyəti müəyyən məna daşımalıdır.

3. Modelə yalnız ölçülə bilən kəmiyyətlər daxil edilməlidir.

4. Modeli təşkil tənliklər (bərabərsizliklər) sistemi müəyyən riyazi tələblərə

cavab verməlidir.

5. Model onun tətbiqi hədlərini müəyyən edən şərtlərə müvafiq gəlməlidir.

6. Model müvafiq formaya malik olmalıdır.

Riyazi modellər qurularkən onların sinfi, mürəkkəblik dərəcəsi və quruluş

xüsusiyyətləri müəyyənləşdirilməlidir. Modelin sinfi həll olunacaq məsələnin

məqsədi və qoyuluşunun xüsusiyyətləri ilə müəyyən edilir. Modelin mürəkkəbliyi

nəzərə alınacaq amillərin sayından və onlar arasındakı qarşılıqlı  əlaqələrin

xarakterindən, ilkin informasiyanın miqdarından, dəqiqliyindən habelə alınacaq

nəticələrin düzgünlüyü dərəcəsindən asılıdır. Tənliklərin və məhculların sayı,

onların dərəcəsi və s. onların quruluş xüsusiyyətlərinə aiddir. Riyazi

modelləşdirmə aşağıdakı ardıcıl mərhələlərdən ibarətdir:

· Problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili;

· Riyazi modelin qurulması;

· Modelin riyazi təhlili;

· Həll metodunun və alqoritminin seçilməsi;

· Ilkin informasiyanın hazırlanması;

· Məsələnin EHM – də həlli;

· Alınmış nəticələrin təhlili və təbliği.

Modelləşdiriləcək obyektin və ya prosesin məqsədlərindən,

xüsusiyyətlərindən və həmçinin informasiya təminatından asılı olaraq müxtəlif növ

modellərdən – xətti modellər, qeyri – xətti modellər, dinamik modellər, diskret

modellər.

downloaded from KitabYurdu.org


Proseslərin riyazi oxşarlığı üçün onları təsvir edən tənliklərin eyni tipli

olması vacibdir. Bu şərt vacib olsa da, lakin kafi deyildir, çünki həmin tənliklərin

çoxlu sayda həlli ola bilər. Adətən,  tənliklərdən əlavə bəzi şərtlər də verilir ki,

bunlar mümkün hallar içərisindən lazım olanını seçməyə imkan verir. Belə şərtlərə

çox vaxt yeganəlik şərtləri deyilir. Tənliklərin tam oxşarlığını yaratmaq üçün

yeganəlik şərtlərinə daxil olan parametrləri seçmək lazım gəlir. Həmin parametrlər

modeli xarakterizə edir. Deməli, obyekti və onun modelini təsvir edən tənliklər və

yeganəlik şərtlərinin oxşarlığından istifadə edərək modellərin parametrləri seçmək

mümkündür.

Modellərin parametrlərini seçmək üçün əsasən iki metod daha geniş tətbiq

olunur. Bunlardan biri obyekti və onun modelini xarakterizə edən tənliklərin,

digəri isə prosesdə iştirak edən parametrlərin ölçü vahidlərinin təhlilinə əsaslanır.

Tənliklərin təhlili metodu. Bu metoddan istifadə etmək üçün prosesin və

onun modelinin tənlikləri qabaqcadan məlum olmalıdır. Qeyd edək ki, prosesləri

xarakterizə edən müvafiq kəmiyyətlərin nisbəti sabit olarsa, belə proseslərə oxşar

proseslər deyilir. Oxşar proseslərin, yaxud obyekt və modelin bütün nöqtələri üçün

qiyməti eyni olan sabitlər vardır ki, həmin sabitlərə oxşarlıq sabitləri deyilir.

downloaded from KitabYurdu.org



Mövzu 4:İqtisadi – riyazi modelləşdirmənin mərhələləri və onların

qarşılıqlı əlaqəsi

İqtisadi – riyazi modellər üçün obyekt olaraq iqtisadi sistemlər, obyektlər və

proseslər çıxış edirlər. Məsələn, əhalinin həyat səviyyəsinin proqnozlaşdırılması,

müəsisədə xammal, material, əmək və maliyyə ehtiyatlarından istifadə, müxtəlif

növ avadanlıqlar arasında məmulatların istehsal planlarının bölüşdürülməsi,

istehsalçılardan  yüklərin istehlakçılara  daşınması və s. bu kimi problemləri bu

obyektlərə aid etmək olar. Bu zaman obyekt – orijinalları  əvəz etmək üçün dil

olaraq klassik və xüsusi işlənmiş riyazi münasibətlər çıxış edirlər ki, onlarda

müəyyən funksiya, bərabərlik və bərabərsizlik şəklində verilmiş  şərtlər, həmçinin

onların formalaşdırılması prinsiplərindən ibarətdir.

Tərif 1:Sosial – iqtisadi obyekt yaxud prosesin riyazi yazılışına iqtisadi –

riyazi model deyilir.

Beləliklə, iqtisadi – riyazi model sosial – iqtisadi obyekt yaxud prosesin

mahiyyəti və keyfiyyət qanunauyğunluqlarını riyazi münasibətlərin köməyi ilə

abstrakt şəkildə ifadə edir. Iqtisadiyyatda riyaziyyat elminin tətbiqi daha dərin və

keyfiyyətli iqtisadi – riyazi təhlil aparmağa imkan verir, iqtisadi informasiya

sahəsini genişləndirir və zəruri iqtidadi hesablamaların yerinə yetirilməsi prosesini

intensivləşdirir.

Burada qoyulmuş məsələnin həlli üçün müvafiq iqtisadi – riyazi modelin

qurulması prosesi mühüm əhəmiyyət kəsb edir. O, aşağıdakı mərhələlərdən

ibarətdir:

I.

Modeldə qiymətləri tapılacaq zəruri kəmiyyətlərin təyin edilməsi, yəni



verilmiş iqtisadi məsələnin məchullarının müəyyənləşdirilməsi.

II.


Məsələ həllində  əsas məqsədin iqtisadi mahiyyətinin müəyyən

olunması, onun üçün ekstremum, yəni maksimum (“max”) və ya minimum (“min”)

qiymətinin axtarılması məqsədi ilə müvafiq funksiya (optimallıq meyarı) şəklində

ifadə edilməsi.

III.

Verilmiş məsələnin iqtisadi qoyuluşunun xarakterindən asılı olaraq,



onun bərabərlik və bərabərsizliklər şəklində məhdudiyyət şərtlərinin formalaşması.

IV.


Məchulların mənfi olmaması əsaslandırılması

V.

Məsələnin iqtisadi – riyazi modelinin yazılışı



Iqtisadi – riyazi modelləşdirilmənin bütün mərhələləri ardıcıllığını və onların

mahiyyətini daha ətraflı təhlil etmək məqsədəuyğundur. Bu münasibətlə iqtisadi –

riyazi modelləşdirilmənin bir dövrünün ibarət olduğu alt mərhələni ayırmaq

downloaded from KitabYurdu.org



lazımdır: iqtisadi problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili; iqtisadi – riyazi

modelin qurulması; modelin riyazi təhlili; ilkin məmulatın hazırlanması; ədədi həll

nəticələrinin iqtisadi – riyazi təhlili və onların tətbiqi. Mərhələlərdən hər birinə

nəzər yetirək.

1.

Iqtisadi problemin qoyuluşu və onun keyfiyyət təhlili mərhələsində



verilmiş iqtisadi problemin mahiyyətini qəbul edilən ilkin şərtləri və fərziyyələri

formalaşdırmaq lazımdır. Burada modelləşdirilən obyekt – orijinalın əsas

xüsusiyyətlərini və xassələrini ayırmaq, onun quruluşunu və tərkib elementlərinin

qarşılıqlı  əlaqələrini öyrənmək mühüm əhəmiyyət kəsb edir, tədqiq olunan

obyektin davranışını və inkişafını izah edən hipotezaların əvvəlcədən

formalaşdırılması tələb edilir.

2.

Iqtisadi – riyazi modelin qurulmasında verilmiş iqtisadi problem dəqiq



riyazi asılılıqlar və münasibətlər (funksiyalar, tənliklər, bərabərsizliklər və s.)

şəklində ifadə edilir.

Iqtisadi – riyazi modellərin mühüm xüsusiyyətlərindən biri də onların

müxtəlif xarakterli problemlərin həlli üçün potensial imkana malik olmasıdır.

Elə hallar ola bilər ki, problemin formalaşdırılması zamanı  əvvəllər məlum

olmayan riyazi qoyuluş alınsın.

3.

Modelin riyazi təhlilində riyazi tədqiqat üsulları ilə modelin və onun



əsasında məsələ həlli nəticələrinin ümumi xassələri aşkar edilir. Xüsusilə,

formalaşdırılmış məsələnin həllinin mövcud olmasının isbat edilməsi vacib

əhəmiyyətə malikdir. Anaitik təhlil aparmaqla məsələnin həllinin yeganə olub –

olmadığı, hər hansı məchulların daxil olduğu, onların dəyişmə intervalları və

ənənələri və s. aydınlaşdırılır.

4.

Ilkin məlumatların hazırlanması mərhələsi olduqca mühüm və



əməktutumludur. Belə ki, məqsəd yalnız passiv olmaqla məlumatları yığmaqdan

ibarət olmayıb, həm elmi, həm də praktiki nöqteyi - nəzərdən əsaslandırılmış zəruri

məlumatları hazırlamaqdan ibarətdir. Ümumiyyətlə, informasi sistemi üzərinə

modelləşdirmə çox ciddi tələblər qoyur. Həmçinin qeyd edək ki, sistemli iqtisadi –

riyazi modelləşdirmədə bəzi modellər üzrə həll nəticələri adətən digər modellər

üçün ilkin məlumatlar kimi istifadə olunur.

5.

Ədədi həll mərhələsində məsələnin ədədi həlli üçün alqoritmlərin



seçilməsi və işlənməsi, EHM – də müvafiq proqramların tərtib olunması və

bilavasitə zəruri hesablamaların aparılmasını özünə daxil edir. Verilmiş mərhələnin

çətinlikləri hər şeydən əvvəl iqtisadi məsələlərin böyük ölçüyə malik olması və çox

sayda məlumatlar massivin işlənməsi zərurəti ilə şərtləşdirilir.

downloaded from KitabYurdu.org


6.

Həll nəticələrinin iqtisadi – riyazi təhlili və onların tətbiqi

mərhələsində modelləşdirmə nəticələrinin düzgünlüyü və tamlığı, obyektin həm

praktiki fəaliyyəti, həm də onun modelinin təkmilləşdirilməsi məqsədi ilə onlardan

istifadə imkanları haqqında mühüm məsələ həll edilir.

Iqtisadi – riyazi modelləşdirmə mərhələlərinin qarşılıqlı əlaqəsi.

downloaded from KitabYurdu.org


Mövzu 5: Xətti cəbrin elementləri

Tərif: n sayda x

1

,x

2



,....,x

n

 həqiqi ədədlərin nizamlı düzülüşünə n ölçülü



vektor deyilir və x = (x

1

,x



2

,....,x


n

) kimi göstərilir. Burada x

1

,x

2



,....,x

n

vektorun



kompanentləri və ya koordinatları adlanır. Vektorun kompanentlərinin sayı onun

ölçüsünü müəyyən edir. Bütün koordinatları 0 olan vektor sıfır vektor adlanır.

Misallara baxaq:

X=(30,50) – iki ölçülü vektor

          X=(40,20,0,-5,60) – beş ölçülü vektor

X=(0,0,....,0) – sıfır vektor

Bütün n ölçülü vektorlar

{ }


 - n ölçülü vektorlar fəzasını əmələ gətirir.

Tutaq ki, n ölçülü vektorlar fəzasında X və Y vektorları verilmişdir. Iki

vektorun cəmi (fərqi) dedikdə elə bir üçüncü vektor başa düşülür ki, bu vektorun

hər bir kompanenti həmin vektorun uyğun kompanentlərinin cəmi (fərqi kimi

hesablansın. Yəni

= (x , x , … , x )

= ( , , … , )



= ± = ( ± ;

± ;


± )

Məsələn, əgər

= (6; 4; 7)  = (8; 3; 0)

olarsa, bu vektorlar üçün alarıq.

+ = (6 + 8, 4 + 3,7 + 0) = (14, 7, 7)

− = (6 − 8, 4 − 3,7 − 0) = (−2,1,7)

Iki vektorun skalyar hasili dedikdə isə bu vektorların uyğun

kompanentlərinin hasilinin cəbri cəmi kimi hesablanan sonlu ədəd başa düşülür.

= ∙ =

+

+ ⋯ +



Məsələn, yuxarıda X və Y vektorları üçün alırıq;

= ∙ = 6 ∙ 8 + 4 ∙ 3 + 7 ∙ 0 = 48 + 12 = 60

Fərz edək ki, n ölçülü vektorlar fəzasında x

1

,x



2

 və y vektorları verilmişdir.

Əgər,

=

+



+

= 1


≥ 0,

≥ 0


Şərtləri ödəyən β

1

 və β



2

 həqiqi ədədlər mövcuddursa onda Y vektoruna x

1



x



2

 vektorlarının qabarıq xətti kombinasiyası deyilir.

Tərif: Çoxluq üzərində götürülmüş istənilən iki nöqtənin qabarıq xətti

kombinasiyası tamamilə həmin çoxluğa daxildirsə onda belə çoxluq qabarıq

çoxluqdur.

Iki nöqtənin qabarıq xətti kombinasiyası həndəsi olaraq həmin nöqtələri

birləşdirən düz xətt parçasını verir. Odur ki, qabarıq çoxluqlara aşağıdakı kimi də

tərif vermək olar.

downloaded from KitabYurdu.org


Tərif: Çoxluq üzərində götürülmüş ixtiyari iki nöqtəni birləşdirən düz xətt

parçası tamamilə həmin çoxluq üzərindədirsə, onda belə çoxluq qabarıq çoxluqdur.

Teorem: İki və daha artıq qabarıq çoxluğun kəsişməsi həmişə qabarıq çoxluq

verir.


Əgər qabarıq çoxluğun hər hansı bir nöqtəsi onun digər nöqtələrinin qabarıq

xətti kombinasiyası kimi göstərmək mümkün deyilsə, onda belə nöqtəyə qabarıq

çoxluğun təpə nöqtəsi deyilir.

Indi isə Jordan əvəzetmələrini nəzərdən keçirək. Tutaq ki, aşağıdakı xətti

tənliklər sistemi verilmişdir:





=

+

+ ⋯ +



+ ⋯ +

=

+



+ ⋯ +

+ ⋯ +


− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

=

+



+ ⋯ +

+ ⋯ +


− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

=

+



+ ⋯ +

+ ⋯ +


         (1)

Bunu cədvəl formasında göstərək

 (2)

Tutaq ki, müəyyən məqsədlər üçün (2) cədvəli ilə verilmiş xətti tənliklər



sistemində asılı dəyişənlərdən birinin sərbəst dəyişənlərdən biri ilə  əvəz etmək

lazımdır.

Fərz edək ki, y

2

 asılı dəyişən x



s

  sərbəst  dəyişənlə  əvəz  edilir.  Onda  r  –  ci

sətir əsas sətir, s – ci sütunu əsas sütun, onların kəsişməsində yerləşən

elementi isə əsas element olacaqdır.

(2) cədvəli üzərində uyğun əvəzetmə aparıldıqdan sonra bu sistem aşağıdakı

şəklə düşəcəkdir:

(3) cədvəldə (2) cədvəldəki

sərbəst  dəyişən  asılı  dəyişən  olmuş,  J

1

 asılı dəyişən isə sərbəst dəyişənə



çevrilmişdir.

………………


… . . …. … … …

=

-------- ------------ ----------  ------------



=

-------- ------------ ----------  ------------

=

………………


… . . …. … … …

=

-------- ------------ ----------  ------------



=

1



-------- ------------ ----------  ------------

=

downloaded from KitabYurdu.org



Bu keçid Jordan  əvəzetmələrinin bir addımı ilə aparılmışdır. Bu addım 5

mərhələdən ibarətdir.

1.

əsas element vahidlə əvəz edilir;



2.

əsas sətrin qalan elementləri öz işarələrini dəyişir;

3. əsas sütnun qalan elementləri olduğu kimi qalır;

4. əsas sətirə və  əsas sütuna daxil olmayan elementlərin yeni qiymətləri

çarpaz vurma qaydası ilə tapılır, yəni

burada,    əsas elementdir.

5. Yeni cədvəlin bütün elementləri əsas elementə bölünür.

Misala baxaq:

Əvvəlcə bu sistemin “0” tənliklər sistemi şəklində göstərək.

Indi isə cədvəl şəklində təsvir edək.

   I

0=

1



1

2

-9



0=

-2

1



1

-3

0=



3

-2

1



-2

Adi Jordan əvəzetmələrinin köməyi ilə cədvəlin solunda yerləşmiş 0 – rı

ardıcıl olaraq cədvəlin yuxarısına keçirək və hər dəfə yuxarı keçmiş sıfra uyğun

gələn sistemi silək.

I

0=

<1>



1

2

-9



0=

-2

1



1

-3

0=



3

-2

1



-2

I

=



1

-1

-2



9

0=

-2



<3>

5

-21



0=

3

-5



-5

25

I



=

-1

1



6

=

1



-5

21

0=



-1

10

-30



downloaded from KitabYurdu.org

Sonuncu cədvəldən tapırıq:

I

=



2

=

7



0=

-10


I

=

=



=

10

I



=

=

=



3

downloaded from KitabYurdu.org



Mövzu 6: Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin riyazi təsviri

Xətti proqramlaşdırma nəzəriyyəsinin tədqiqat obyekti onun əsas

məsələsidir. Bu məsələ aşağıdakı kimi yazılır:

Məqsəd funksiyası

( ) =

+

+ ⋯ +



   (1)

Məhdudiyyət şərtləri

+

+ ⋯ +


 ≤ 

+

+ ⋯ +



⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

+

+ ⋯ +


(2)


Dəyişənlərin mənfi olmaması şərtləri

≥ 0;


≥ 0; … ;

≥ 0              (3)

Burada

( = , ⃗), ( = , ⃗), ( = , ⃗; = , ⃗) verimiş



sabit kəmiyyətlərdir,

( = , ⃗) isə məchul kəmiyyətlərdir.

Xətti proqramlaşdırmanın (1) – (3) əsas məsələsi aşağıdakı kimi

ifadə olunur.

, , … ,  məchulları üçün mənfi olmayan elə qiymətlər tapmaq

lazımdır ki, bu qiymətlər (2) məhdudiyyət sistemini ödəsinlər və (1)

məqsəd funksiyasına ən böyük və ya ən kiçik qiymət versinlər.

Qeyd 1: (2) sistemində xətti məhdudiyyətlər

≥, ≤, = formasında ola

bilər.


Qeyd 2: Bəzi ədəbiyyatlarda (2) sisteminin xətti məhdudiyyətlərinin

xarakterindən asılı olaraq (1) – (3) məsələsinə

– Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsi;

– Xətti proqramlaşdırmanın ümumi məsələsi;

– Xətti proqramlaşdırmanın kanonik məsələsi;

– Xətti proqramlaşdırmanın standart məsələsi və s. kimi müxtəlif

adlar verilir.

Tərif 1:


, , … ,  məchulların mənfi olmayan və (2) sistemini ödəyən

qiymətlərinə xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin həlli və ya planı

(mümkün həlli və ya mümkün planı) deyilir.

Tərif  2:

, , … ,   məchulların mənfi olmayan (2) sistemini ödəyən

və (1) məqsəd funksiyasına ən böyük və ya ən kiçik qiymət verən

downloaded from KitabYurdu.org


kəmiyyət xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsini optimal həlli və ya

optimal planı deyilir.

Beləliklə, xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinni həll edilməsi

dedikdə bütün hallarda onun optimal planın tapılması başa düşülür.

Xətti proqramlaşdırmanın (1) – (3) əsas məsələsinin aşağıdakı

yazılış formaları vardır.

1. Vektor yazılış forması

2. Matris yazılış forması

3. Məsələnin cən işarəsinin köməyi ilə yazılışı

Vektor formasında (1) – (3) məsələsi aşağıdakı kimi yazılır.

=

→ max(


)

+

+ ⋯ +



≥ 0


  Burada

= ( , , … , ) və

= ( , , … , ) – n ölçülü

vektorlarıdır. PX isə bu vektorların skalyar hasilidir.

, , … , ,  isə şağıdakı sturuktura malik sütun vektorlardır.

=



,

=



,...,

=



,

=



Matris formasında (1) – (3) xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsi

aşağıdakı kimi yazılır.

=

→ max(


)

≥ 0



  Burada

= ( , , … , ) – sətir matrisi

=



  - sütun matrisi



A – (3) sisteminin əsas matrisi olub, aşağıdakı şəkildədir.

=

… …



… …

− − − − − − − −

… …

downloaded from KitabYurdu.org



=

Cəm işarəsinin köməyi ilə (1) – (3) xətti proqramlaşdırma əsas



məsələsi aşağıdakı kimi yazılır.

( ) =


→ max(

)

≤  ( = , ⃗)



≥ 0 ( = , ⃗)

Indi isə buna aid misalı nəzərdən keçirək.

Məsələ 1: Aşağıdakı xətti proqramlaşdırmanı matris və vektor yazılış

formasında göstərin.

( ) = 2 + 5 −

4 + 5 ≤ 30



− 3 + 2 ≤ 50

≥ 0;


≥ 0;

≥ 0


Həlli:

- Matris yazılış forması

= (2; 5; −1) ∙

4 0



5

1 −3 2 ∙


30

50



≥ 0

- Vektor yazılış forması

( ) = (2; 5; −1) ∙ ( ; ; ) →

 41 +


0

−3

+ 52 ≤



30

50

( ; ; ) ≥ 0



downloaded from KitabYurdu.org

Məsələ 2: Aşağıdakı xətti proqramlaşdırma məsələsini cəm işarələrinin

köməyi ilə yazın.

( ) = 

+

+



+

+



+

+



+

+



+

+



≥ 0;


≥ 0;

≥ 0


Həlli:

( ) =


≤   = 1; 4⃗

≥ 0 ( = 1; 3⃗)

downloaded from KitabYurdu.org



Mövzu 7. Xətti proqramlaşdırma məsələsinin həndəsi mənası və qrafik üsulla həlli

Tutaq ki, (1) – (3) məsələsində n = 2 – dir, yəni məsələyə 2 dəyişən daxildir.

Onda bu məsələyə aşağıdakı şəkilə düşər.

( ) =


+

→ max(


) (1)

+



+

− − − − − − − − −



+

(2)



≥ 0,

≥ 0 (3)


Tutaq ki, (2) sistemi ziddiyyətli deyil, yəni onun heç olmazsa bir həlli vardır.

(2) sisteminin hər bir xəti bərabərsizliyi həndəsi olaraq müstəvi üzərində bir

yarımmüstəvi verir və bu yarımmüstəvilər müstəvidən

+

=  ( = 1, )⃗



Sərhəd düz xətləri ilə ayrılır.

(2) sistemi ziddiyyətli olmadığından bu müstəvilər müstəvi üzərində

≥ 0,

≥ 0 yarımmüstəviləri ilə kəsişərək məsələnin mümkün həllər oblastını



əmələ gətirir. Bu mümkün həllər oblastına məsələnin həllər çoxbucaqlısı da deyilir.

Aşağıdakı  şəkildə həllər çoxbucaqlısının mümkün variantlarından biri

göstərilmişdir.

= 3 olduqda bu həllər çoxbucaqlısı 3 ölçülü fəzada həllər çoxüzlüsünə

çüvrilir. Bu çoxüzlünün hüdudları isə

+

+



=  ( =

)⃗ müstəviləri olur.

> 3 olduqda isə məsələnin həllər çoxbucaqlısı n ölçülü fəzada alınır və

onun hüdudları

+

+ ⋯ +


=  ( =

)⃗

hiper müstəviləri ilə təyin edilir.



downloaded from KitabYurdu.org

Beləliklə, XP – nin əsas məsələsinin həndəsi mənası dedikdə məsələnin

həllər çoxüzlüsünün elə bir nöqtəsinnin tapılması başa düşülür ki, bu nöqtənin

koordinatları məsələnin məqsəd funksiyasına maksimum və ya minimum qiyət

versinlər.

Bu zaman nəzərə alınmalıdır ki, həllər çoxüzlüsünün hər bir nöqtəsinin

koordinatları məsələnin mümkün həlləri hesab edilir.

XP – nin əsas məsələsinin həllər çoxüzlüsünün aşağıdakı xassələri vardır.

Teorem 1: XP – nin əsas məsələsinin həllər çoxüzlüsü qabarıq çoxluqdur.

Teorem 2:  XP – nin əsas məsələsinin məqsəd funksiyası özünün ən böyük

və  ən kiçik qiymətini həllər çoxüzlüsünün təpə nöqtələrinin birində alır. Əgər

funksiya özünün ən böyük və ya ən kiçik qiymətini eyni zamanda iki təpə

nöqtəsində alarsa, onda funksiyanın bu qiyməti həmin təpə nöqtələrinin qabarıq

xətti kombinasiyası olan bütün nöqtələrdə də alınacaqdır.

Qrafik üsulu

Qrafik üsulu XP – məsələsinin ən sadə həll üsuludur. Bu üsulun əsasını XP –

in əsas məsələsinin həndəsi izahı təşkil edir.

XP – nin əsas məsələsinin qrafik üsulu ilə həlli şağıdaı mərhələləri əhatə

edir.


– Məsələnin həllər oblastının qurulması;

– Məqsəd funksiyasının artma istiqamətinin təyin edilməsi;

– Funksiyanın ekstremumlarının alındığı təpə nöqtələrinin müəyyən edilməsi

və onların koordinatlarının tapılması;

– Tapılmış optimal planlara görə funksiyanın ekstremumlarının hesablanması.

Fərz  edək  ki,  (1)  –  (3)  məsələsi  verilmişdir.  Məlum  olduğu  kimi,  (2)

sisteminin hər bir xətti bərabərsizliyin müstəvi üzərində bir yarımmüstəvi verir və

bu yarımmüstəvilər müstəvidən aşağıdakı sərhəd düz xətti ilə ayrılır.

+

=  ( = 1, )⃗



Əgər (2) sistemi ziddiyyətli deyilsə, onda bu yarımmüstəvilər müstəvi

üzərində


≥ 0,

≥ 0 yarımmüstəviləri ilə kəsişərkən, məsələni həll olunmasını

verir.

                  C                           N



                                                          D

B

Z



= 0

         A                     h

2

 0

h



1

downloaded from KitabYurdu.org



Məsələnin həlli oblastı qurulduqdan sonra məqsəd funksiyasının istiqaməti

təyin edilir. Bu məqsədləfunksiyanın qradiyenti qurulmalıdır (funksiyanın

qradiyenti deyildikdə onun artma istiqamətini təyin edən radius vektor başa

düşülür). (1) – məqsəd funksiyasının dəyişənlərinə görə birinci tərtib törəmələrini

hesablayaq:

=  ,


=

Deməli, funksiyanın qradiyenti

= ( , ) radius vektorudur.

Koordinat başlanğıcından raduis vektora perpendikulyar düz xətt keçirək.

Nəticədə

= 0 səviyyə xəttini alarıq.

Bu düz xətti N vektoru boyunca özünə paralel sürüşdürək, bu düz xətt həllər

çoxbucaqlısının A və D nöqtələrində həmin oblasta dayaq olacaqdır. Deməli, A və

D təpə nöqtələri (2) və 3) şərtləri ilə müəyyən edilən oblastda (1) funksiyasının ən

böyük və ən kiçik qiymətlərinin alındığı nöqtələrdir. Radius vektorun istiqamətini

bildiyimizdən və

ℎ < ℎ olduğundan hökm edə bilərik ki, A təpə nöqtəsində

funksiyanın ən kiçik qiyməti, D təpə nöqtəsində isə ən böyük qiyməti alınır.

A və D nöqtələrinin koordinatlarını təyin etmək üçün bu nöqtələri doğuran

düz xətlərin tənliklərindən ibarət birgə sistemləri həll etmək kifayətdir.

Qeyd edək ki, yuxarıdakı misalda məsələnin həllər oblastı qapalı oblast idi.

Lakin bəzən elə xətti proqramlaşdırma məsələsinə rast gəlinir ki, bu məsələdə

həllər oblastı açıq oblast olur. Bu zaman aşağıdakı iki haldan biri mümkündür.

I hal: Z = 0 düz xətti həllər oblastını kəssə də heç bir nöqtədə bu oblasta

dayaq olmur.                    Z

Z = 0

Z

     N



O

Onda məsələnin məqsəd funksiyası baxılan oblastda həm yuxarıdan, həm də

aşağıdan qeyri – məhdud olur, yəni

max ( ) = +∞ min ( ) = −∞

downloaded from KitabYurdu.org


II hal: Z = 0 düz xətti məsələnin həllər oblastını kəssə də bəzi nöqtələrdə bu

oblasta dayaq olur. Onda:

II(a). Məqsəd funksiyası verilmiş oblasta yuxarıdan məhdud, aşağıdan isə

qeyri – məhdud olur.

                                         Z

Z = 0


Z

     N


O

II(b). Məqsəd funksiyası aşağıdan məhdud, yuxarıdan qeyri – məhdud  olur.

                        Z

Z = 0


Z

     N


O

III(c) Məqsəd funksiyası həm yuxarıdan, həm də aşağıdan məhdud olur.

X

2

Z



Z=0

Z

  N



O

X

1



downloaded from KitabYurdu.org

Mövzu 8. Xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsinin

iqtisadi mənası

Aşağıdakı sadə iqtisadi məsələyə baxaq:

Tutaq ki, firma n sayda məhsul istehsal edir və bu məqsədlə m sayda

xammaldan istifadə edir. Xammalların məhdudluğu

= ( , , … , ) vektoru ilə

təyin edilir. Bu vektorun

 komponenti firmada olan i – ci xammalın məhdud

miqdarıdır. Məhsul vahidi istehsalına xammal sərfi normaları isə

=// //


,

texnoloji matrislə xarakterizə edilir, burada

- bir vahid j – cu məhsul istehsal

etmək üçün sərf ediləcək i – ci xammalın miqdarıdır. Məhsul vahidlərinin firmaya

verdiyi mənfəət isə

= ( , , … , ) vektoru ilə xarakterizə edilir. Burada P

j

  –


bir vahid j – cu məhsulun satışından alınan mənfəətdir. Müəssisə üçün elə bir

istehsal proqramı tapmaq tələb edilir ki, bütün məhsulların satışından əldə ediləcək

məcmu mənfəət məksimum olsun.

Baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsini verək. Tutaq ki, firma X

1

 ədəd 1 –



ci məhsul, X

2

 ədəd 2 – ci məhsul,..., X



n

 ədəd n – ci məhsul istehsal edəcək. Yəni

firmanın istehsal proqramı

= ( , , … , ) vektoru ilə ifadə ediləcəkdir.

Bu məhsulları istehsal etmək üçün tələb edilən 1 – ci xammalın məcmu

miqdarını hesablayaq:

+

+

Müəssisədə birinci xammalın miqdarı məhduddur və a



1

 – ə bərabərdir. Odur

ki. Bu iqtisadi göstərici birinci xammalın məhdud həcmindən çox ola bilmək, yəni

+

+



şərti ödənməlidir.

Müvafiq bərabərsizlikləri digər xammal növləri üçün də tərtib etsək,

aşağıdakı bərabərsizliklər sistemini alarıq:

+

+ ⋯ +


+

+ ⋯ +



− − − − − − − − − − − − − − −

+

+ ⋯ +


              (1)

, , … ,  dəyişənləri firmada istehsal ediləcək məhsul növlərinin

miqdarını göstərdiyi üçün, təbii ki, mənfi kəmiyyət ola bilməzlər, yəni

≥ 0,

≥ 0, … ,


≥ 0 (2)

Indi isə, firmada istehsal edilən bütün məhsulların satışından əldə ediləcək

məcmu mənfəəti hesablayaq:

+

+ ⋯ +



Məqsədimizə görə firmanın məcmu mənfəəti maksimum olmalıdır. Odur ki,

bu mənfəətə istehsal ediləcək məhsulların həcminin funksiyası kimi baxsaq, yaza

bilərik:

downloaded from KitabYurdu.org



( ) =

+

+ ⋯ +



               (3)

Gördüyümüz kimi, (1) – (3) XP – nin maksimum məsələsini aldıq. Yəni

, , … ,  məchulları üçün mənfi olmayan elə qiymətlər tapılmalıdır ki, bu

qiymətlər (1) sistemini ödəsin və (3) xətti funksiyaya maksimum qiymət versinlər.

Indi isə XP – nin əsas məsələsinin iqtisadi mənasına aid kontret misala

baxaq.

Tutaq ki, müəssisə 3 növ məhdud ehtiyatdan istifadə etməklə A və B



məhsulları istehsal edir. Bir ədəd A məhsulu istehsal etmək üçün

-

1 – ci ehtiyatdan 3 vahid



-

2 – ci ehtiyatdan 6 vahid

-

3 – cü ehtiyatdan 2 vahid



tələb olunur.

Bir ədəd B əhsulunun istehsal etmək üçün isə bu ehtiyatlardan uyğun olaraq

4, 2 və 5 vahid tələb olunur. Müəssisədə 200 vahid birinci ehtiyat, 300 vahid ikinci

və 100 vahid üçüncü ehtiyat vardır.

Bir ədəd A məhsulunun satışından müəssisə 50 manat, bir ədəd B

məhsulunun satışından 45 manat mənfəət əldə edir. Müəssisə üçün elə bir istehsal

proqramı tapmaq lazımdır ki, bu proqrama görə müəssisənin əldə edəcəyi məcmu

mənfəət maksimum olsun.

Baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsini verək. Tutaq ki, müəssisə x

1

 ədəd



A  məhsulu  və  x

2

  ədəd B məhsulu istehsal edəcək. Yəni müəssisənin istehsal



proqramı

= ( , ) vektoru ilə təyin ediləcəkdir.  x

1

  qədər  A  məhsulu  və  x



2

qədər B məhsulu istehsal etmək üçün tələb edilən I ehtiyatın miqdarını hesablasaq,

alarıq:

3 + 4


Təbii ki, bu kəmiyyət müəssisədə olan bir növ ehtiyatın miqdarından çox ola

bilməz yəni;

3 + 4 ≤ 200

Qalan ehtiyat növləri üçün də uyğun bərabərsizlikləri tərtib etsək aşağıdakı

xətti bərabərsizliklər sistemini alarıq.

3 + 4 ≤ 200

6 + 2 ≤ 300

2 + 5 ≤ 100

         x

1

və  x



2

 kəmiyyətləri A və B məhsullarının istehsal həcmini göstərdiyindən

təbii ki, onlar mənfi kəmiyyət ola bilməzlər. Yəni

≥ 0,


≥ 0  şərtləri

ödənməlidir.

Indi isə istehsal edilmiş məhsulların satışından əldə ediləcək məcmu

mənfəəti  hesablayaq:

50 + 45

downloaded from KitabYurdu.org



Məsələdə qoyulmuş məqsədə görə bu mənfəət maksimum olmalıdır.

Beləliklə alırıq:

( ) = 50 + 45 →

                (4)

3 + 4 ≤ 200

6 + 2 ≤ 300

2 + 5 ≤ 100

                 (5)

≥ 0,

≥ 0             (6)



Göründüyü kimi baxılan iqtisadi məsələnin riyazi ifadəsi (4) – (6) XP – nın

əsas məsələsinə gətirildi. Yəni x

1

və  x


2

 məchulları üçün mənfi olmayan elə

qiymətlər tapılmalıdır ki, bu qiymətlər (5) sisteminin məhdudiyyət şərtlərini

ödəsinlər və (4) məqsəd funksiyasına maksimum qiymət versinlər.

Beləliklə XP – nın  əsas məsələsinin iqtisadi mənası dedikdə müəssisə üçün

elə bir istehsal proqramının tapılması başa düşülür ki, bu proqrama görə istehsal

ehtiyatlarının məhdudluğu şəraitində müəssisənin əldə edəcəyi məcmu mənfəət

maksimum olsun.

Bu iqtisadi izaha çox zaman maksimum mənfəət məsələsi deyilir.

Qeyd edək ki, XP – nın əsas məsələsinin həndəsi mənasından fərqli olaraq

bu iqtisadi izah məsələnin yeganə mümkün izahı deyilir. Belə ki, məsələnin

iqtisadi mənasını real həyatdan götürülmüş çoxsaylı misallarla izah etmək olar.

downloaded from KitabYurdu.org


    Mövzu 9. Xətti proqramlaşdırmanın simpleks üsulla həlli

Simpleks  (  simpleks  –  latın  sözü  olub,  sadə  deməkdir)    -  n    -  ölçülü  fəzada

+ 1 sayda təpə nöqtələrinə malik olan sadə qabarıq çoxüzlüdür ( məsələn, 3 –

ölçülü fəzada tetraedr); simpleks həmçinin

≤ 1

şəklində  bərabərsizliyin mümkün həllər oblastından (çoxluğundan) ibarətdir.



Simpleks üsulu universal alqoritm olmaqla istənilən XP məsələsini həll

etmək üçün istifadə olunur. O amerika riyaziyyatçısı Corc Donsiq tərəfindən tətqiq

edilmiş və ilk dəfə olaraq 1949 – cu ildə mətbuatda çap edilmişdir.

Bu üsulun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəla XP məsələsinin hər hansı

dayaq həlli tapılır. Daha  sonra digər dayaq həllərə keçməklə məqsəd funksiyasının

qiymətləri ardıcıl olaraq artaraq (azalaraq) onun maksimum (minimum) qiyməti

tapılır. Simpleks üsulu müxtəlif ədəbiyyatlarda çox vaxt “planların ardıcıl

yaxşılaşdırılması üsulu” da adlandırılır.

Bu üsul iki mərhələdən ibarətdir:

1) Dayaq həllin axtarılması

2) Optimal həllin axtarılması

Dayaq həllin axtarılması mərhələsi – cədvələ keçid, dayaq həllin tapılması

əlaməti və əsas elementin seçilməsi mərhələlərini özünə daxil edir.

Optimal həllin axtarılması mərhələsi isə - optimal həllin tapılması əlaməti və

əsas elementin seçilməsi alt mərhələlərini əhatə edir.

Nəticədə XP məsələsinin ya məhdudiyyət şərtlərinin ziddiyyətli olması,

yaxud məqsəd funksiyasının qeyri – məhdud olduğu müəyyən edilir, ya da onun

optimal həlli tapılır.



<> XP məsələsinin simpleks üsulla həllinə baxaq. Tutaq ki, “max”

XP məsələsi aşağıdakı şəkildə verilmişdir:

                Məqsəd funksiyası

( ) = 


+

+ ⋯ +


→ max  (1)

Məhdudiyyət şərtləri

+

+ ⋯ +


+

+ ⋯ +



− − − − − − − − − − − − − − −

+

+ ⋯ +


       (2)

≥ 0, ( = , )           (3)

Burada


, ,

( = ,  , =   , ) – verilmiş ədədlərdir və

>

downloaded from KitabYurdu.org



Simpleks üsulunun tətbiqinə keçməmişdən əvvəl (1)  - (3) XP məsələsini

kanonik (yaxud əsas) məsələ şəklində yazaq. Bu məqsədlə (2) şərtlərini

= −



− ⋯ −



+

≥ 0 ( = 1, ) (4)

kimi ifadə edək. Beləliklə,

, , … ,  asılı dəyişənləri məsələyə daxil edilir.

I. Dayaq həllin axtarılması

1) Cədvələ keçid

(1) - (3) məsələsi, həmçinin (4) nəzərə alınmaqla, cədvəl şəklində yazılır:

             (5)

2) Dayaq həllin tapılması əlaməti.

Tutaq ki, (5) – də sərbəst hədlərdən heç biri mənfi deyildir, yəni

≥ 0,

≥ 0, … ,


≥ 0. Onda

= 0,


= 0, …   ,

= 0                (6)

məsələnin dayaq həllidir. Doğurdan da (6) qiymətlərində (5) cədvəlindən

alırıq ki,

=

≥ 0 …


=

≥ 0  olur. Daha doğrusu (4) şərtləri ödənilir.

Beləliklə “max” XP məsələsinin dayaq həllinin tapılması  əlaməti Simpleks

cədvəlinin sərbəst sütunundan mənfi həddin olmamasından ibarətdir.

3) Dayaq həllin axtarılması zamanı əsas elementin seçilməsi:

Tutaq ki, (5) cədvəlində heç olmazsa bir mənfi sərbəst hədd, məsələn,



< 0 vardır. Onda (6) qiymətləri məsələnin heç bir həllini vermir. Belə ki, bu

qiymətlərdə

=

< 0  alırıq və o, (4) şərtləri ilə ziddiyyət təşkil edir.

Sərbəst sütunda mənfiliyi aradan qaldırmaq məqsədi ilə aşağıdakı qaydalar üzrə

əsas element tapılır:

a) ən  kiçik  mənfi  sərbəst  həddin  (tutaq  ki,



< 0)  yerləşdiyi  r    -  sətir

elementlərinə baxılır. Əgər burada heç bir mənfi element olmazsa, onda həmin

məsələnin şərtləri uyuşan deyil. Deməli, məsələnin həlli yoxdur.

b) Həmin sətirdə yerləşən hər hansı elementin daxil olduğu S – sütunu əsas

sütun olur.

c) Sərbəst hədlərin əsas sütunun müvafiq elementlərinə olan nisbəti tərtib

edilir. Ən kiçik nisbətin alındığı sətir əsas sətir götürülür.

Tutaq ki,

min

≥ 0 =


 , onda r sətri əsas sətir olur.

−  . . .. –   ↓ . . .. −    İ

=

. . ..


. . ..

. . ..



. . ..

=

. . ..



. . ..

=

−  …. −  …. −



0

downloaded from KitabYurdu.org



d) Əsas s sütununun və r sətirinin kəsişməsində

  əsas elementi seçilir. Bu

elementə nəzərən bir addım atılır (tətbiq edilir). Nəticədə

 sərbəst həddi artıq

müsbət olur, daha doğrusu

=

> 0 alırıq.



Cədvəlin sərbəst sütununda qalan digər mənfi mənfi həddlər də oxşar qayda

ilə mənfilikdən azad edilir. Sonlu sayda addım tətbiq etməklə ya məsələnin

şərtlərinin birgə olmadığını müəyyən edirik, ya da onun dayaq həllini tapırıq.

Qeyd etmək lazımdır ki, XP nəzəriyyəsinin iqtisadi tətbiqi məsələlərində

sərbəst həddlər müsbət, yəni

≥ 0 (  = , ) olurlar. Ona görə də birinci

mərhələnin 2- ci altmərhələsindən sonra bilavasitə II mərhələyə - optimal həllin

axtarılmasına keçmək lazımdır.

Tutaq ki, I mərhələ başa çatmışdır, dayaq həll tapılmış və nəticədə aşağıdakı

cədvəl alınmışdır:

−  … −  −

… −  …


  I

=



,



--------

 ------------------------------------------------------------  ------

=



,



=



,

,



,

,



,

---------



 ------------------------------------------------------------  -------

,



---------



 ------------------------------------------------------------  -------

,



=



…  

…   …  


  Q

Burada


≥ 0, … ,

≥ 0                  (8)

və deməli,

= 0, … ,


= 0,

= 0, … ,


= 0      (9)

məsələnin dayaq həllidir. Məqsəd funksiyasının müvafiq qiyməti isə Z=Q. Bundan

sonra II mərhələyə keçirik.

II.


Optimal həllin axtarılması

Bu 2 mərhələdən ibarətdir.

1) Optimal həlllin tapılması əlaməti

(7) cədvəlinin Z – sətir əmsallarına baxılır. Əgər onların içərisində mənfi

olanı yoxdursa, yəni

≥ 0, … ,


≥ 0 , olarsa, onda tapılmış (9) dayaq həlli məsələnin həm də

optimal həllidir. Beləliklə, XP məsələsi həll edilmişdir və Z

max

= Q


≪min≫ XP məsələsi iki üsulla həll edilir:

I üsul: “min” XP məsələsi müvafiq “max” XP məsələsinə gətirilir.

Bunun üçün Z(x) funksiyasını (-1) - ə vurmaq və aşağıdakı “max” XP

məsələsini həll etmək kifayətdir:

downloaded from KitabYurdu.org


Məqsəd funksiyası

( ) = (−1) ( ) = −

− ⋯ −


     (10)

(2) və (3) şərtləri olduğu kimi saxlanılır.

Bu zaman alınmış “max” XP məsələsinin optimal həlli olur və aşağıdakı

bərabərlik doğrudur:

      Z


min

 = (-1) F

max

      II üsul: “min” XP məsələsi bilavasitə Simpleks üsulu ilə həll edilir.



downloaded from KitabYurdu.org

Mövzu 10:Xətti proqramlaşdırmada qoşmalıq

Verilmiş hər bir əsas (ilkin) xətti proqramlaşdırma məsələsi ilə yanaşı çox

hallarda digər xətti proqramlaşdırma məsələsinə də baxılır ki, bu da onun qoşma məsələ

müəyyən qaydalar üzrə alınır. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, əsasməsələyə onun öz

qoşmanın qoşma məsələsi kimi baxmaq olar. Ona görədə xətti proqramlaşdırmanın əsas

nə qoşma məsələləri qarşılıqlı qoşma olan məsələlər cütünü təşkil edir. Onlar simmetrik

və qeyri – simmetrik ola bilərlər.

Bununla əlaqədar olaraq qoşma olan xətti proqramlaşdırma məsələlərini vahid

simpleks cədvəlində yazmağı bacarmalıyıq. Onda əsas xətti proqramlaşdırma məsələsini

həll edərkən eyni zamanda onun qoşma xətti proqramlaşdırma məsələsini həll edərkən

eyni zamanda onun qoşma xətti proqramlaşdırma məsələsi ddə həll edilir və əksinə. Bu

zaman xətti proqramlaşdırma məsələsinin həlli nəticəsində məqsəd funksiyası üçün

alınmış ekstremum qqiymət qoşma xətti proqramlaşdırma məqsəd funksiyasının

ekstremum qiyməti ilə üst – üstə düşür.

Əgər əsas məsələ olaraq “max” xətti proqramlaşdırma məsələsi götürülərsə. Onda

onun qoşması “min” xətti proqramlaşdırma məsələsindən ibarət olur. Bu zaman

yuxarıda göstərdiyimiz kimi, əsas məsələni simpleks üsulu ilə həll etdikdə ona qoşma

olan məsələ də paralel həll edilir. Beləliklə, “min” xətti proqramlaşdırma məsələsinin

həlli üçün yenio üsul alınmış olur ki, buna da qoşma simpleks üsulu deyilir. Ona görə də

“max” simpleks üsulu ilə\ həlli mərhələləri ilə paaralel sürətdə həmçinin “min” xətti

proqramlaşdırma məsələsinin də qoşma simpleks üsulu ilə həlli prosesində irəli gələn

mərhələləri ifadə etməyi bacarmalıyıq.

Xətti proqramlaşdırma qoşma məsələləri simmetrik və qeyri – simmetrik ola

bilərlər. Simmetrik məsələlərdə həm düz. Həm də qoşma məsələnin məhdudiyyət

şərtləri bərabərsizliklərdən ibarət olur, məchulların işarələi üzərinə isə mənfi olmamaq

şərtləri qoyulur. Qeyri – simmetrik məsələlərə isə düz məsələnin məhdudiyyət şərtləri

bərabərsizlik və bərabərliklərdən ibarət olmaqla qarışıq şəkildə verilir. Bu zaman qoşma

məsələnin məchulları mənfidə ola bilərlər. Indi isə simmetrik qoşma məsələdə ola

bilərlər. Indi isə simmetrik qoşma məsələlərin tərtibi üçün ümumi qaydaları ifadə edək:

Düz məsələ

Məqsəd funksiyası

( ) =


+

+ ⋯ +


→ 

(1)


Məhdudiyyət şərtləri

+

+ ⋯ +



+

+ ⋯ +



− − − − − − − − − − − − − − −

+

+ ⋯ +


(2)


Məchulların mənfi olmaması şərtləri

≥ 0;


≥ 0; … ;

≥ 0


, , … ,  məchulları üçün elə qiymətlə tapmalı ki, onlar (2) və (3) şərtlərini

ödəsin, (1) xəttifunksiyasına isə maksimum qiymət versinlər.

Tərif 1: Məhdudiyyət şərtlərində məchulların əmsallarından ibarət matris, sərbəst

hədlərdən ibarət sütun matrisi və məqsəd funksiyasının əmsallarından ibarət sətir matrisi

daxil olan matrisə xətti proqramlaşdırma məsələsinin genişləndirilmiş matrrisi deyilir.

Tərif 1 – ə  əsasən (1) – (3) xətti proqramlaşdırma məsələsinin genişləndirilmiş

matisi aşağıdakı şəkildə olur:

downloaded from KitabYurdu.org



=







− − − − − − − ⋮ −



⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯

  …




(4)



Qoşma məsələ

Məqsəd funksiyası

( ) =

+

+ ⋯ +



→ 

(5)


Məhdudiyyət şərtləri

+

+ ⋯ +



+

+ ⋯ +



− − − − − − − − − − − − − − −

+

+ ⋯ +


(6)


Məchulların mənfi olmaması şərtləri

≥ 0;


≥ 0; … ;

≥ 0


, , … ,  məchulları üçün elə qiymətlə tapmalı ki, onlar (6) – (7) şərtlərini

ödəsin, (5) xəttifunksiyasına isə minimum qiymət versinlər.

Aşağıda simmetrik və qeyri – simmetrik qoşma məsələlərinin tərttibinə aid

nümunələr verilmişdir.

Simmetrik məsələlər:

1) Ilkin məsələ

( ) =



≤   = 1, ⃗



≥ 0 ( = 1, ⃗)

Qoşma məsələ

( ) =





 = 1, ⃗

≥ 0 ( = 1, ⃗)

2) Ilkin məsələ

( ) =


≥   = 1, ⃗

≥ 0 ( = 1, ⃗)

downloaded from KitabYurdu.org



Qoşma məsələ

( ) =


 = 1, ⃗



≥ 0 ( = 1, ⃗)

Qeyri – simmetrik  məsələlər:

1) Ilkin məsələ

( ) =


=   = 1, ⃗

≥ 0 ( = 1, ⃗)

Qoşma məsələ

( ) =





 = 1, ⃗

>=< 0 ( = 1, ⃗)

2) Ilkin məsələ

( ) =


=   = 1, ⃗

≥ 0

Qoşma məsələ



( ) =



 = 1, ⃗

>=< 0 ( = 1, ⃗)

downloaded from KitabYurdu.org


  

Mövzu 12: Qapalı və açıq nəqliyyat məsələləri

=

(1)


Tarazlıq şərti ödənən nəqliyyat məsələsinə qapalı balanslı nəqliyyat məsələsi  və

ya sadəcə qapalı nəqliyyat məsələsi deyilir. Teoremə görə yalnız qapalı nəqliyyat

məsələsini həll etmək mümkündür. Bəzən nəqliyyat məsələsində (1) tarazlıq şərti

ödənmir. Yəni məcmu tələbdən çox, yəni

>

(2)


və ya az, yəni

<

(3)


(2) və (3) şərtləri ödənən nəqliyyat məsələsinə açıq nəqliyyat məsələsi deyilir. (2) şərti

ödənən açıq nəqliyyat məsələsi quraq:

( ) =

 →

≤  ( = 1, )



=  ( = 1, )

≥ 0


= 1,

= 1,


(2) şərti ödənən açıq nəqliyyat məsələsi isə aşağıdakı kimi yazılacaqdır.

( ) =


 →

downloaded from KitabYurdu.org



=  ( = 1, )

≤  ( = 1, )

≥ 0

= 1,


= 1,

Yuxarıdakı teoremə görə açıq nəqliyyat məsələsini həll etmək mümkün deyil.

Odur ki, onları qapalı şəklə gətirmək lazımdır.

Tutaq ki, (2) şərti ödənir, yəni məcmu təklif məcmu tələbdən çoxdur. Bu halda

məsələni qapalı şəklə gətirmək üçün həmin məsələyə (n+1) – ci şərti istehlakçı daxil

edilir və onun tələbi aşağıdakı kimi hesablanır:

=



Bu halda məsələnin ölçüləri böyüdüyü üçün həm C nəqliyyat xərcləri matrisinə,



həm də X daşınmalar matrisinə (n+1) – ci sütun əlavə edilir (C matrisində bu sütuna ya

“0” – lar, ya da bu matrisin digər elementləri ilə müqayisədə kifayət qədər böyük

ədədlər yazılır). Onda baxılan açıq  nəqliyyat məsələsi

=

(2 )



şəklində  tarazılıq şərti daxilində qapalı məsələyə çevrilir. Tutaq ki, açıq nəqliyyat

məsələsində (3)  şərti ödənilir, yəni məcmu tələb məcmu təklifdən çoxdur. Bu halda

məsələni qapalı şəklə gətirmək üçün (m+1) – ci şərti istehsal müəssisələrindən istifadə

edilir və bu müəssisədə olan məhsulun miqdarı aşğıdakı kimi müəyyən edilir:

=



Məsələnin ölçüləri dəyişdiyi üçün C və X matrislərinə uyğun olaraq (m+1) – ci



sətir əlavə edilir. Onda baxılan açıq nəqliyyat məsələsi

=

(3 )



downloaded from KitabYurdu.org

tarazlıq   şərti daxilində qapalı məsələyə çevrilir. Alınmış yeni qapalı nəqliyyat

məsələsi həll edilərək optimal həll tapıldıqdan sonra bu optimal həlldə (m+1)  - ci

əlavə sətir və ya (n+1) – ci sütun silinir və baxılan açıq nəqliyyat məsələsinin optimal

həlləri  tapılır.  Əgər  C  matrisində  əlavə  edilmiş  (m+1)  –  ci  sətirə  və  ya  (n+1)  –  ci

sütuna “0” – lar  yazılmışdırsa onda açıq nəqliyyat məsələsi ilə onun gətirildiyi qapalı

nəqliyyat məsələsinin məqsəd funksiyasının qiymətləri üst - üstə düşür. Əgər C

matrisinə əlavə edilmiş (m+1) – ci sətir və ya (n+1) – ci sütuna “0” – dan fərqli böyük

ədədlər yazılmışsa,  onda açıq nəqliyyat məsələsinin məqsəd funksiyasının minimum

qiymətini tapmaq üçün bu məsələnin gətirildiyi qapalı nəqliyyat məsələsinin nəqliyyat

xərclərinin cəmindən X – daşınmalar matrisindən silinmiş sətir və ya sütunla bağlı

nəqliyyat xərclərinin cəmini çıxmaq lazımdır.

downloaded from KitabYurdu.org



Mövzu 13: Nəqliyyat məsələsinin həll üsulları

Nəqliyyat məsələsi  riyazi ifadəsinə görə xətti proqramlaşdırmanın əsas məsələsidir.

Odur ki, məsələni Simpleks metodu ilə həll etmək mümkündür. Lakin nəqliyyat

məsələsinin indiyə qədər baxılan xətti proqramlaşdırmadan fərqli  cəhətləri vardır. Bu

fərqli cəhətlər aşağıdakılardır:

1.  Nəqliyyat məsələsinin dəyişənləri iki indekslidir;

2. Məsələnin bütün məhdudiyyət şərtləri tənliklərdən ibarətdir;

3. Hər bir dəyişən yalnız iki məhdudiyyət şərtində iştirak edir;

4. Məsələnin məhdudiyyət şərtlərində iştirak edən bütün dəyişənlərin əmsalları vahidə

bərabərdir.

Bu fərqli cəhətlər ona gətirib çıxarır ki, məsələni Simpleks üsulla həll etmək nəzəri

cəhətdən mümkün olsa da, praktik baxımdan mümkün olmur (hesablama işlərinin sayı

həddən artıq çox olur).

Odur ki, nəqliyyat məsələsini həll etmək üçün bu fərqli cəhətləri nəzərə alan və

optimal həllin tapılmasını prosesini asanlaşdıran bir sıra sonlu həll metodları

hazırlanmışdır. Bu metodlara misal olaraq potensiallar metodunu, macar metodunu, bölgü

metodunu, diferensial renta metodunu, Foqelin approksimasiyası metodunu və s.

göstərmək olar.

Nəqliyyat məsələsinin həllində ən çox işlənən metod potensiallar metodudur.

Potensiallar metodunun alqoritmi hazırlıq hazırlıq mərhələsindən və sonlu sayda

eyni tipli yaxınlaşmalardan ibarətdir. Hazırlıq mərhələsində məsələnin hər hansı bir

daşınmalar matrisi tərtib edilir və onun optimal olub olmaması yoxlanılır.

Hər bir yaxınlaşma iki mərhələdən ibarətdir (birinci və sonuncu yaxınlaşmalardan

başqa. Birinci yaxınlaşma yalnız ikinci mərhələdən, sonuncu yaxınlaşma isə yalnız birinci

mərhələdən ibarətdir). Yaxınlaşmanın birinci mərhələsində əvvəlki yaxınlaşmalarda tərtib

edilmiş daşınmalar planının optimal olub – olmaması yoxlanılır.ikinci mərhələdə optimal

olmayan plan yaxınlaşdırılaraq daha az (ən pis halda ona bərabər) nəqliyyat xərclərinə

malik yeni daşınmalar planı tərtib edilir.

Hazırlıq mərhələsinin məzmunu. Bu mərhələdə məsələnin X daşınmalar matrisi ilə

verilmiş başlanğıc daşınmalar planı tərtib edilir və onun optimal olub olmaması yoxlanılır.

Ilkin daşınmalar matrisini aşağıdakı üsullardan biri ilə tərtib  etmək olar:

1. Şimal – qərb bucağı üsulu

2. Ən kiçik element üsulu

3. Iki dəfə nəzərə alma üsulu

4. Foqeli approksimasiyası üsulu

Ən kiçik element üsulu timsalında nəqliyyat məsələsinin başlanğıc daşınmalar

planının alqoritmini ətraflı  şəkildə nəzərdən keçirək. Ən kiçik element üsulu ilə X dayaq

daşınmalar matrisini qurmaq üçün C nəqliyyat xərcləri matrisində ən kiçik tapılır tutaq ki,

downloaded from KitabYurdu.org


min

;

=





Bu elementə X daşınmalar matrisində

 elementi uyğun gəlir. Həmin elementin

qiyməti aşağıdakı məntiqi müqayisə mexanizmi vasitəsi ilə təyin edilir:

= min


;

 ,

Burada



 –

 – cı müəssisənin (sətrin) ehtiyatı;

 -

 – cı istehlakçının (sütunun) tələbidir.



Bu zaman aşağıdakı 3 haldan biri mümkündür.

1.

 <



 onda



  olur və X daşınmalar matrisinin

 – cı sətrinin

qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur. Bu sətrin qalıq ehtiyatı “0” – a

bərabər olur.  – cı sütunun qalıq tələbi isə

`

=



kimi hesablanır.

2.

 >



 onda



 olur və X daşınmalar matrisinin

  –  cı


sütununun  qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur. Bu sütunun tələbi isə

“0” – a bərabər olur.

 – cı sətirin qalıq ehtiyatı isə

`

=



kimi hesablanır.

3.

=

 onda



=

 olur. X daşınmalar matrisinin



 – cı

sətrinin həm də  – cı sütununun  qalan bütün elementlərinin qiyməti “0” – a bərabər olur.

Həm

 – cı sətirin qalıq ehtiyatı, həm də



 – cı sütunun qalıq tələbi “0” – a bərabər olur.

   Beləliklə, X daşınmalar matrisinin elementinin qiyməti təyin edilən zaman paralel

olaraq bu matrisin

  –  cı  sətirinin,  ya

 – cı sütununun, ya da hər ikisinin bütün

elementlərinin qiymətləri tapılmış olur. Sonra C nəqliyyat xərcləri matrisində  bu bağlı

sətir və ya sütuna uyğun gələn sətir və ya sütun silinir. Daha sonra C matrisinin qalan

elementləri içərisində yenidən ən kiçiyi seçilir və proses təkrarlanır. Bu proses X

daşınmalar matrisinin bütün elementlərinin qiymətləri təyin edilənə qədər davam etdirilir.

Yuxarıda sadaladığımız digər üsullar bu üsuldan yalnız X daşınmalar matrisinin

təyin ediləcək elementinin seçilməsi ardıcıllığı ilə fərqlənir. Məsələyə baxaq:

Məsələ:


Tutaq ki, 4 müəssisədə uyğun olaraq

= 220  ℎ ,   = 340,

= 410,

= 230 vahid məhsul vardır. Bu məhsulları 5 istehlak məntəqəsinə daşımaq lazımdır.



Birinci istehlakçının tələbi

= 250  ℎ , ikinci istehlakçının tələbi

= 150  ℎ  ,

üçüncü istehlakçının tələbi

= 250  ℎ , dördüncü istehlakçının tələbi

=

150  ℎ  , beşinci istehlakçının tələbi



= 400  ℎ

. Məhsul vahidlərinin daşınma

xərcləri aşağıdakı nəqliyyat xərcləri matisi ilə verilmişdir.

downloaded from KitabYurdu.org



=

3 2 6 5 9

5 4 3 8 6

2 1 9 4 7

7 2 6 6 8

Nəqliyyat məsələsinin iqtisadi – riyazi modelini qurun və ən kiçik element üsulu ilə

başlanğıc daşınmalar matrisini tərtib edin.

Həlli:


Tutaq ki,

{ , } kommunikasiyası üzrə

 - vahid məhsul daşınacaqdır. Onda alarıq:

( ) = 3


+ 2

+ 6


+ 5

+ 9


+ 9

+ 4


+ 3

+ 8


+

6

+ 2



+

+ 9


+ 4

+ 7


+ 7

+ 2


+ 6

+ 6


+ 8

.



+

+

+



+

= 220


+

+

+



+

= 340


+

+

+



+

= 410


+

+

+



+

= 230




+



+

+

= 250



+

+

+



= 150

+

+



+

= 250


+

+

+



= 150

+

+



+

= 400


≥ 0 ( = 1,4 , = 1,5)

Məsələdə


=

= 1200


 olduğu üçün bu məsələ qapalıdır.

Məsələ üçün

 – başlanğıc daşınmalar matrisi qurulmalıdır. Baxılan nəqliyyat

məsələsi 4 x 5 ölçülü olduğu üçün bu daşınmalar matrisi aşağıdakı kimi axtarılacaqdır.

=

Ən kiçik element metodu üsulunu tətbiq edək.



C nəqliyyat xərcləri matrisində  ən kiçik element tapılır. Bu element

= 1


elementidir.

 daşınmalar matrisində C matrisinin bu elementinə uyğun gələn element

 olacaqdır. Deməli, ilk növbədə bu elementin qiyməti təyin edilməlidir.

=

{ ;  }  =



{410; 150 } = 150

<  olduğu üçün

daşınmalar matrisinin 2-ci sətrinin qalan bütün

elementlərinin qiymətləri 0  - a bərabər olur:

= 0,


= 0,

= 0


downloaded from KitabYurdu.org

Göründüyü kimi

 daşınmalar matrisinin 2 – ci sütununun qalıq tələbi

` = 0

olur. 3 – cü sətrin qalıq qiyməti isə



` = 410 − 150 = 260 olur. Beləliklə,  daşınmalar

matrisinin 2 – ci sütununun bütün elementləri təyin edildiyi üçün C nəqliyyat xərcləri

matrisində  2 – ci sütunu silirik. Sonra bu matrisin qalan elementləri içərisində yenidən

yenidən ən kiçiyini tapırıq. Bu

= 2 elementidir. Deməli,

daşınmalar matrisinin

təyin ediləcək növbəti elementi

  elementi olacaqdır:

= min{ `; } = min{260; 250} = 250

< `  olduğu üçün

daşınmalar matrisinin 1 – ci sütununun  qalan

elementlərinin qiymətləri sıfıra bərabər olur:

= 0,


= 0,

= 0


1 – ci sütunun  qalıq tələbi

` = 0 olur. 3 – cü sətrin qalıq ehtiyatı isə

`` = ` − ` = 260 − 250 = 10

olacaqdır.

 daşınmalar matrisinin 1 – ci sütununun bütün elementləri təyin edildiyi üçün C

nəqliyyat xərcləri matrisində  1 – ci sütunu silinir və proses bu qayda ilə başlanğıc

daşınmalar matrisinin bütün elementləri alınana qədər davam etdirilir.

Beləliklə aşağıdakı daşınmalar matrisini alırıq:

=

0  0


0  0

0

140 80



250

0

90



250 150

0

0



0  10

0

0  0 230



Bu daşınmalar üçün nəqliyyat xərclərinin cəmi:

( ) = 5 ∙ 140 + 9 ∙ 80 + 3 ∙ 250 + 6 ∙ 90 + 2 ∙ 250 + 1 ∙ 150 + 4 ∙ 10 + 8 ∙ 230

= 5240  ℎ 

downloaded from KitabYurdu.org




Yüklə 0,55 Mb.

Dostları ilə paylaş:
  1   2   3   4




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2020
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə