2. Mantiqiy masalalarni yechishning asosiy usullari

Javob: EKUB (𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)) = 𝑥 − 1.
𝑓(𝑥) ko‘phad uchun 𝑓(𝛼) = 0 shartni qanoatlantiruvchi 𝛼 soniga 𝑓(𝑥)
ko‘phadning ildizi deyiladi.
Bezu teoremasi: 𝑓(𝑥) ko‘phadni 𝑥 − 𝛼 ga bo‘lgandagi qoldiq 𝑃(𝛼) ga teng.
Gorner sxemasi: f x  a x  a x + ...+a x  a ni 𝑥 − 𝛼 ga bo‘lganda
 
n n1
0 1 n1 n
to‘liqsiz bo‘linma g x  b x  b x + ...+b ga, qoldiq esa r ga teng bo‘lsin.
 
n1 n2
0 1 n1
Quyidagi jadval yordamida 𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛−1 koeffitsientlar va
𝑟 ni topish mumkin.
3-misol. 𝑓(𝑥) = 3𝑥5 − 2𝑥4 + 𝑥2 − 5𝑥 + 1 ko‘phadni 𝑥 − 1 ga
bo‘lishdagi g x bo‘linmani va 𝑟 qoldiqni Gorner sxemasi yordamida toping.
Shunday qilib g x  3x4
 x3 + x2  2x  3 , 𝑟 = 𝑓(3) = −2.
Umuman olganda
  f 0 ga,
n n1
0
1 n1
f x  a x  a x + ...+a
n
x  a ko‘phadning ozod hadi
koeffitsientlari yig’indisi esa
f 1 ga teng.
4-misol. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)10 ∙ (1 − 3𝑥)5 ko‘phadning ozod hadi va koeffitsientlar yig’indisini toping.
Yechish: Ko‘phadning ozod hadi 𝑓(0) = (2 ∙ 0 + 1)10 ∙ (1 − 3 ∙ 0)5 = 1,
koeffitsientlar yig’indisi 𝑓(1) = (2 ∙ 1 + 1)10 ∙ (1 − 3 ∙ 1)5 = 310 ∙ (−2)5 =
−32 ∙ 310 ga teng.

𝑎0	𝑎1	𝑎2	…	𝑎𝑛−1	𝑎𝑛
𝑎0	𝑎1 + 𝛼𝑏0	𝑎2 + 𝛼𝑏1	…	𝑎𝑛−1 + 𝛼𝑏𝑛−2	𝑎𝑛 + 𝛼𝑏𝑛−1
𝑏0	𝑏1	𝑏2	…	𝑏𝑛−1	𝑟

3	-2	0	1	-5	1
3	-2+3∙1	0+1∙1	1+1∙1	-5+2∙1	1-3∙1
3	1	1	2	-3	-2

Mustaqil yechish uchun misollar.
1) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)10 ∙ (𝑥 − 2)5 − 3𝑥 ko‘phadning ozod hadini toping.

• 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)5 ∙ (𝑥 − 2)10 + 2𝑥 ko‘phadning koeffitsiyentlari yig’indisini toping.
• 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 1)6 ∙ (𝑥 − 2)11 − 2𝑥 ko‘phadning koeffitsiyentlari yig’indisini toping.
• Ko‘phadning koeffitsientlari yig’indisi 5 ga teng bo‘lsa, a ni toping

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥 − 1.

• Ko‘phadning koeffitsientlari yig’indisi 10 ga teng bo‘lsa, a ni toping

𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎2𝑥2 − 𝑎𝑥 − 11.

• P(x)=(x2+3 )3 va Q(x)=(x3-x2)3 bo‘lsa, deg(Q(x)-P(x)) ni toping.
• P(x)=x5-2x4+x3-x+3 ni x2+2 ga bo‘lganda qoldiqni toping.
• P(x)=x111+11x11+x7+13 ko‘phadni Q(x) ga bo‘lganda bo‘linma x bo‘lsa, qoldiqni toping.
• P(x)=xn+3+2xn+x5-n+x8-n+3 ko‘phad bo‘lsa, n nechta har xil natural qiymat qabul qiladi.
• P(x+y)=(x+y)8+2(x+y)3+(x+y+2)2-8 ko‘phadni x+y ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.
• P(x) ko‘phadni (x-2)3 bo‘lganda qoldiq x2+x-6 bo‘lsa, P(x) ni x-2 ga bo‘lganda qoldiqni toping.
• P(x)=x5n -3xn+mx2n+xn+2 ko‘phad xn+2 ga qoldiqsiz bo‘linsa, m ni toping.
• P(x)=x1963+mx193+x13+5 ko‘phadning bir ko‘paytuvchisi x+1 bo‘lsa, m ni toping.
• x2P(x)/(x+1)Q(x-1)=x+3 tenglik berilgan. P(x) ni x-2 ga bo‘lganda qoldiq 10 bo‘lsa Q(x ) ni x-1 ga bo‘lganda qoldiqni toping.
• P(x)=x4-3x2+x2+(m-2)x+n+3 ko‘phadning bir ko‘paytuvchisi x2 bo‘lsa, m-n ni toping.
• P(x)=x4-x3+mx2+n ko‘phadni (x3-2x2) ga bo‘lganda, qoldiq (x2+1) ga teng bo‘lsa, m+n ni toping.
• P(x) ko‘phadni (x+2)(x-3) ga bo‘lganda qoldiq 2x ga teng bo‘lsa, R2(x)

ko‘phadni (x-3) ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.

• P(x) va Q(x) ko‘phadlarni x+2ga bo‘lganda qoldiq mos ravishda 3 va -2 bo‘lsa, P(x+3)-(x-3)Q(x+3) ko‘phadni (x+5) ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.
• P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d ni 3 karrali ildizi x= ̶ 1 bo‘lsa, 3a-b ni toping.
• P(x)=(x2-3x+n)3 ko‘phadning koeffitsientlari yig‘indisi 64 bo‘lsa, n=?

• Tenglamalarni yechishning ba‘zi metodlari va yechimining xossalari.