4-ma‘ruza. Mavzu: Vektorlar va ular ustida amallar. Reja

Izoh: Bundan buyon vektor berilgan yoki vektor topilsin deyilganda vektorning koordinatalari berilganligini yoki vektorni koordinatalarini topish lozimligini tushuniladi.

3. 
   Koordinatalari orqali berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar.
   

Agar vektorlarning koordinata o'qlaridagi proeksiyalari (vektorning koordinatalari) malum bo'lsa, u holda bu vektorlar ustidagi qo'shish, ayirish va vektorni songa ko'paytirishi amallarini ularning proeksiyalari ustidagi arifmetik amallar bilan almashtirish mumkin.
Vektorlar а =ах i +ау j +az к, b =bx i +by j +bz к yoyilmalari yordamida berilgan
bo'lsin. U holda а ± b =( ах±Ьх)i +( ay±by) j +(а₂±bz) к , 2 а = 2ахi + 2ауj + Aazк, ya'ni vektorlarni qo'shganda (ayirganda) ularning mos koordinatalari qo'shiladi (ayiriladi), vektorni songa ko'paytirganda uning barcha koordinatalari shu songa ko'paytiriladi.
+• -> +• -►

1. 
   misol. а =2 i +3 j -2 к, b =3 i - j +4 к vektorlar berilgan. Ularning
   

yig'indisi va ayirmasi topilsin.
Yechish. Vektorlarning mos koordinatalarini qo'shib
а + b =(2+3) i +(3-1) j +(-2+4) к =5 i +2 j +2 к
vektorga va mos koordinatalarini ayirib а - b =(2-3) i +(3-(-1)) j +(-2-4) к =- i +4 j -6 к vektorga ega bo'lamiz.

3. 
   Vektorning uzunligi.
   

Fazoda vektor а =а_хi +а_уj +а₂к yoyilmasi yordamida berilgan bo'lib uning uzunligi |а| ni topish talab etilsin. Qaralayotgan holda (22-chizma) а = ОМ
vektor qirralari shu vektorning koordinata o'qlaridagi tashkil etuvchilari ОМ₁ ,ОМ₂ va ^ОМ3 dan iborat parallelepipedning diagonallaridan biri ekanligi aytilgan edi.

yoki

ОМ

va ОМ₃

|^ах|^, \ОМ2\ = \а_у
To'g'ri burchakli parallelpiped diognalining kvadrati uning qirralari kvadratlarining yig'indisiga teng bo'lishi ma‘lum. Shunga ko'ra
|^| 2 2 2 2

\^аг
bo'lgani uchun \а\ = а_х + а_у + а_z ,bundan


(6.6)
vektorni o'zunligini topish formulasi
|^а| ^аХ + ^ау + ^{а 2}
ni hosil qilamiz.
* -►

2. 
   misol. a =6 i +3 j -2 к vektorni uzunligi topilsin?
   

Yechish. Misolda ax=6, ay=3, az=-2 bo'lgani uchun (6.6) formulaga binoan |a| =76² + 3² + (-2)² = 7 36 + 9 + 4 =7 bo'ladi.
Izoh. a vektor 0xy tekislikda qaralsa bu holda vektorning applikatasi nolga teng *• —►
bo'lganligi sababli vektor a = ax i + ayj yoyilmaga ega hamda uning uzunligi |a| =7 a I + a J kabi topiladi. i, j birlik vektorlari tekislikda Dekart bazisini tashkil etadi. ax - abssissaga va ay - ordinataga ega bo'lgan a vektorni a {ax, ay } yoki a ={ax; ay} kabi yoziladi.
Endi vektorlar nazariyasidan foydalanib analitik geometriyaning ba‘zi masalalarini yechamiz.

3. 
   Vektorning yo'naltiruvchi kosinuslari.
   

Fazoda vektorning holati uni koordinata o'qlari bilan tashkil qilgan a, /3 ,/ burchaklar bilan aniqlanadi.
Bu burchaklarning kosinuslari vektorning yo'naltiruvchi kosinuslari deb ataladi. Vektorning o'qqa proeksiyasi uning uzunligi bilan vektor va o'q orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga tengligiga asoslanib berilgan a = a_xi+a_yj + a_zk vektorning yo'naltiruvchi kosinuslarini topish uchun formulalar chiqarish qiyin emas.
a_x= |a|cos a, ay= |a| cos3, a_z= |a| cos/ munosabatlardan

cosa=
a_x ^ay










^az
cos / —
a

cosa=

^ax

yl^at^{+ a}y^{+ a}Z

, cos 3 =

^ay
^^al^{+ a}y^{+ a}Z

cos/=

222
^ax ^{+ a}y ^{+ a}z

(7.1)
, cos 3 = - a

ko'rinishni oladi.





Vektorning yo'naltiruvchi kosinuslari orasida bog'lanish o'rnatish uchun (7.1) ning barcha tengliklarini kvadratga ko'tarib hadma-had qo'shamiz. U holda 222 ^a_x ^ay . ^a z _
2 . 2 , 2
a_x² +a_y² +a_z²

cos²a+cos² 3+cos²/=

222 ax + ay + az

222 ax + ay + az

222
a + a + a
xyz
— 0

1. 
   izoh. Har qanday a birlik vektorni koordinata o'qlariga proeksiyalari uning yo'naltiruvchi kosinuslariga teng bo'lganligi uchun uni
   

+• —►
a =cosa- i +cos 3- j +cos/- к ko'rinishida tasvirlash mumkin.

2. 
   izoh. 0xy tekislikdagi vektor uchun /=90⁰, a+3=90⁰ yoki 3=90⁰ -a bo'lganligi uchun (7.1') tenglik cos²a+ cos ² 3 = 1 ma‘lum ayniyatga aylanadi.
   

3. 
   Ikki vektorning kollinearlik sharti.
   

a =a_x i +a_y j +a_zк va b =b_xi +b_yj +b_zк vektorlar kollinear bo'lsin. a va b kollinear vektorlar uchun shunday z son mavjud bo'lib a = z b munosabatning bajarilishi aytilgan edi. Bunga vektorlarni yoyilmalari orqali qiymatlarini qo'ysak ax i +ay j +a_z к = Zb_x i + z by j + z b_z к yoki bundan teng vektorlarning mos proeksiyalari ham teng bo'lishini hisobga olib ax= z bx, ay= z by , az= z bz (7.2)
tengliklarga ega bulamiz. Demak ikkita kollinear vektorlarning koordinatalari proporsianal bo'lar ekan.
Aksincha (7.2) shartlar bajarilganda a va ^b vektorlar kollinear bo'ladi. Haqiqatdan, a vektor, ^b vektorning barcha koordinatalarini z ga ko'paytirish natijasida hosil bo'lganligi uchun uning o'zi ham ^b векторни шу z songa ko'paytirish natijasida hosil bo'ladi. Demak a va ^b vektorlar kollinear. Shunday qilib a va b vektorlarni kollinear bo'lishi uchun ularning koordinatalari (proeksiyalari) proporsional bo'lishi zarur va yetarli.
(7.2) tengliklarni ko'pincha

^ax	^ay a
^bx	by - ту ^(7.^3)

ko'rinishda yoziladi. (7.3) ikki vektorning kollinearlik (parallellik) shartidir.
Agar vektorlardan birining koordinatalari orasida nolga teng bo'lganlari bo'lsa vektorlarni kollinearlik shartini (7.3) ko'rinishida yozib bo'lmaydi. Bu holda kollinearlik shartini




ko'rinishda yozish mumkin.

^ax ^by^{= a}y ^bx^,

ay bz= byaz.