Алгебра ва сонлар назарияси

2. Ayniyat operatori ( yoki birlik) operatorini olib qaraylik.
maxsus son 1.
3. oynali operator.
maxsus son -1.
Fazoda berilgan operatorning maxsus vektorlarini topishni ko`rib o`tamiz. Buni ushbu teorema orqali ifodalaymiz.
Teorema. Rn fazoda berilgan A chiziqli operator hech bo`lmaganda bitta maxsus vektorga ega.
Isbot. vektor operatorning maxsus vektori bo`lsin.
(I)
Fazoning bazasini
(2)
bilan belgilaymiz. vektoni bazis orqali ifodalaymiz.
(3)
(4)
operatorning chiziqligini e’tiborga olib (3) ga ko`ra ushbuni yozamiz
(5)
Endi (4) bilan (5) dan ushbuni yozamiz.

operatorning (2) bazisdagi matrisasini olib qaraylik.

Bu berilgan (2) bazisdagi operatorning matrisasi. Bu matrisaga asosan quyidagilarni yozamiz.

(7)
Endi (7) va (6) ga qo`yib quyidagilarni hisoblaymiz. Natijada quyidagilarni hosil qilamiz.
(2) vektorlar sistemasi bazis bo`lganligidan oxirgi tenglikdan quyidagilarni hisoblaymiz.


Bundan
(8)
Bu (8) sistema (9) no`malumlarga nisbatan bir jinsli tenglamalar sistemasidir. Bu bir jinsli tenglamalar sistemasi nol emas yechimga ega bo`lishi uchun uning diterminanti
(10)
Bo`lishi zarur va kifoya. Bu (10) ga nisbatan darajali algebraik tenglamadir. Buning chap tomoni ga nisbatan darajali ko`phad. Bunday ko`phad xarakteristik ko`phad deyiladi. Shunday qilib
(11)
Bu (11) ni yechib maxsus sonlarni topamiz. larni (8) ga qo`yib (9) ni topamiz. Demak, (2) ko`rinishdagi maxsus vektorlarni topamiz. Bu maxsus vektorlar bitta yoki bir nechta bo`lishi mumkin. (8) sistema xarakteristik (hal qiluvchi) sistema deyiladi.

Faraz qilaylik fazoda operator berilgan bo`lsin.

Xarakteristik tenglamasi
(1)
buni yoyib bunda yoyishimiz mumkin.

yoki
(2)
Buning chap tomoni darajali ko`phad va uni quyidagicha belgilaymiz.
(3)
Maxsus vektorlarni topishda (3) ko`phad asosiy rolni o`ynaydi.
maxsus sonlarni topish asosiy masala bo`lib qoladi. Bu maxsus vektorlarni topish uchun ning darajasi yuqori bo`lganda ildizlarni topish ya’ni (2) tenglamani yechish murakkablashadi. Bu yerda koeffitsentlar asosiy rol o`ynaydi. (3) dagi ozod had marritsaning diterminantidan iborat, ya’ni koeffitsent matrisa bosh dzioganalining elementlari yig’indisidan iborat. koeffitsent 2-tartibli bosh minorlarning yig’indisidan iborat, ya’ni 2-tartibli diterminantlar yig’indisidir.
Yuqorida qayt qilindiki koeffitsient bosh dioganal elementlari yig’indisidan iborat. Bu operatorning izi deyiladi. Viyeta formulasiga asosan ope6ratorning izi xarakteristik ko`phadlarning ildizlari yig’indisiga teng.
lar (2) ning ildizi.
Agar operatorning matrisasi dioganal ko`rinishda bo`lsa, ya’ni

Ushbu xarakteristik tenglama quyidagicha bo`ladi.


Bundan ko`rinadiki, agar matrisaning diterminanti o`zgarmagan holda dioganal ko`rinishga keltirilsa masala juda osonlashadi.
Endi biz matrisa bilan birgalikda matrisani ko`rib o`tamiz. birlik matrisa.

yoki bunga asosan
Endi bularga ta’luqli bo`lgan quyidagi teoremani keltiramiz.