Ii hissə YÜKSƏk təRTİBLİ Dİferensial təNLİKLƏR

§3. Sağ tərəfi xüsusi şəkildə olan ikitərtibli

sabit əmsallı xətti bircins olmayan diferensial

tənliyinin inteqrallanması
Aydındır ki, bircins olmayan tənliklərin ümumi həllini ixtiyari sabitlərin variasiyası üsulu ilə həmişə tapmaq olar. Ancaq bəzi hallar­da sağ tərəfin formasına görə xüsusi həlli süçmə üsulundan istifadə edib tapmaq olur.

Xüsusi hal kimi ikitərtibli sabit əmsallı

(1)

xətti bircins olmayan diferensial tənliyinə baxaq, burada və -müəy­yən ədədlərdir.

(1) tənliyinin ümumi həlli uyğun bircinsli tənliyin ümumi həlli ilə bircinsli olmayan tənliyin xüsusi həllinin cəminə bərabərdir:

.

1. 
   tənliyinə uyğun bircins tənliyin xarakteristik tənliyi
   

(2)

kimidir.

(1) tənliyinin xüsusi həllini ixtiyari sabitlərin vari­asiyası üsulu ilə tapmaq olar. Lakin bu zaman mürəkkəb hesabla­malar aparmaq lazım gəlir. Xü­susi hallarda tənliyin xüsusi həllini daha sadə üsul adla­nan seçmə (və ya qeyri-müəyyən əmsallar) üsulu ilə tapırlar.

Bu üsulun mahiyyəti belə­dir: (1) tənliyinin sağ tərəfindəki funksiyasının şəklinə görə qeyri-müəyyən əmsal­larla gözləniləcək formada xüsusi həll yazılır, sonra o (1) tənliyində nəzərə alınaraq, alınan eynilikdən naməlum əmsallar tapılır. Əmsalların qiymət­ləri seçilmiş xüsusi həlldə yazılaraq verimiş tənliyin xüsusi həlli tapılır.

Xüsusi həlli tapmaq üçün bəzi xüsusi hallara baxaq.

1. 
   Tutaq ki, . Burada , -
   

dərəcəli çoxhədlidir, yəni

.

Onda

1. 
   əgər xarakteristik tənliyin kökü deyilsə, xüsusi həlli
   

şəklində axtarmaq lazımdır. Burada qeyri-müəyyən əm­sallardır;

b) xarakteristik tənliyin sadə köküdürsə (yəni , yaxud ), onda xüsusi həll

şəklində axtarılır;

c) əgər xarakteristik tənliyin təkrarlanan köküdürsə , onda

.


II. Tutaq ki, , burada

verilmiş ədədlərdir. Onda

a) əgər xarakteristik tənliyin kökü deyilsə, onda xüsusi həlli

(3)

şəklində axtarmaq lazımdır, burada qeyri-müəyyən əmsallardır;

2. 
   əgər xarakteristik tənliyin köküdürsə, onda
   

.

Tutaq ki, , burada - dərəcəli, isə dərəcəli çoxhədlilərdir, Onda

1. 
   əgər xarakteristik tənliyin kökü deyilsə, onda xüsusi
   

həll

şəklində axtarılır, burada və dərəcələri olan çoxhədlilərdir;

2. 
   əgər xarakteristik tənliyin köküdürsə, onda xüsusi
   

həll

şəklində axtarılır.

+Misal 1. (4)

tənliyinin ümumi həllini tapmalı.

Həlli. Verilən tənliyə uyğun bircins tənliyini ümumi həllini tapaq: , , onda

.

(4) tənliyin sağ tərəfinə görə . xarakteristik tənliyin kökü deyildir, onda xüsusi həlli şəklində, yəni

şəklində axtaraq. Buradan , . Sonuncu ifadələri (4) tənliyində nəzərə alaq:

.

Beləliklə, (3) tənliyinin ümumi həlli

olar.

+Misal 2. (5)

tənliyinin ümumi həllini tapmalı.

Həlli. Uyğun bircinsli tənliyin ümumi həllini ta­paq:

, .

İndi isə (5) tənliyinin xüsusi həllini tapaq. Verilən tənliyin sağ tərəfi

şəklində olduğuna görə burada , olur və bu ədəd də xarakteristik tənliyin kökü deyildir. Deməli, (3) düsturuna görə xüsusi həlli şəklində axtarmaq lazımdır. Onda və . Sonun­cu ifadələrini verilən tənlikdə yazsaq, alarıq:

Beləliklə, verilən tənli­yin ümumi həlli

şəklində olur.